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Permutationen, Variationen und Kombinationen – k aus n auswählen

MathematikWahrscheinlichkeitAlter 15–16

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Mit meiner Klasse nutzen

n Objekte mit den Namen A, B, C … liegen in einer Reihe; die Schülerinnen und Schüler tippen k davon an, mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge, und vergleichen mit der vollständigen Liste aller Möglichkeiten. Die Anzahl folgt Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)! und Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!), jeweils mit ausgeschriebenem Produkt; das Pascalsche Dreieck darunter hebt das Feld Cₙᵏ hervor und zeigt Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.

Lektion: Permutationen, Variationen und Kombinationen; Pascalsches Dreieck (binomischer Lehrsatz)

Was sie zeigt

Zählprobleme hängen an einer Frage: Kommt es auf die Reihenfolge an? Bei n beschrifteten Objekten ordnet eine Permutation alle an (Pₙ = n!), eine Variation wählt k davon mit Reihenfolge aus (Aₙᵏ = n!/(n − k)!) und eine Kombination wählt k ohne Beachtung der Reihenfolge aus (Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!)). Die vollständige Liste aller Fälle macht den Zusammenhang sichtbar: Jede Kombination aus k Objekten lässt sich auf k! Arten anordnen, also gilt Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ. Das Pascalsche Dreieck enthält dieselben Zahlen; jeder Eintrag ist die Summe der beiden darüber.

So funktioniert es

Stellen Sie Anzahl der Objekte n und Anzahl ausgewählt k ein und wählen Sie die Zählart mit den Schaltflächen Permutationen Pₙ, Variationen Aₙᵏ oder Kombinationen Cₙᵏ. Die Lernenden tippen die Objekte nacheinander an und sehen, wie die verbleibenden Möglichkeiten schrumpfen (Produktregel), und suchen ihre Auswahl dann in der vollständigen Liste. Wechseln Sie bei festem n und k zwischen Variationen und Kombinationen, um die Listenlängen zu vergleichen. Auswahl löschen beginnt neu; Pascalsches Dreieck zeigen markiert das Feld Cₙᵏ.

Einstellbare Parameter

  • Anzahl der Objekte n 1–7
  • Anzahl ausgewählt k 1–7
  • Zählart Permutation (alle n Objekte anordnen), Variation (k auswählen, geordnet), Kombination (k auswählen, ungeordnet)
  • Pascalsches Dreieck zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. Kapitän, Stellvertreter und Kassenwart aus 7 Lernenden wählen: Ist das eine Variation oder eine Kombination, und wie viele Möglichkeiten gibt es?
  2. Wie viele Variationen gehören bei n = 5 und k = 3 zu jeder Kombination, und warum?
  3. Warum ist Cₙᵏ gleich Cₙⁿ⁻ᵏ, und wo zeigt das Pascalsche Dreieck diese Symmetrie?

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