غربال إراتوستينس – إيجاد الأعداد الأولية

ماذا تعرض

يجد غربال إراتوستينس كل الأعداد الأولية حتى N: بدءًا من 2، يكون أصغر عدد لم يُشطب بعد عددًا أوليًا، وتُشطب مضاعفاته الأخرى؛ ومتى صار p² > N كانت كل الأعداد الباقية أولية. وتعرض شاشة «أشجار العوامل» المبرهنة الأساسية في الحساب: مهما اختلفت طريقة التحليل فالأوراق الأولية هي نفسها، فتمثيل العدد جداءً لقوى أعداد أولية وحيد، ومن الأسس نعرف عدد قواسمه. وفي شاشة «ق.م.أ وم.م.أ» توضع العوامل الأولية المشتركة في منطقة التقاطع من مخطط فن: جداء التقاطع هو ق.م.أ، وجداء المخطط كله هو م.م.أ، وق.م.أ × م.م.أ = a × b.

طريقة الاستخدام

في شاشة «الغربال» اختر «الغربال حتى N»، واضغط «الخطوة التالية» لعدد أولي واحد في كل مرة أو استعمل «تلقائي»، ثم انقر الخلايا لتتحقق من القواسم والمضاعفات. وفي «أشجار العوامل» اكتب n، وانقر عددًا برتقاليًا واختر زوج قواسم حتى ينتهي كل فرع بعدد أولي؛ ويعرض «تحليل الكل» طريق أصغر عدد أولي. وفي «ق.م.أ وم.م.أ» أدخل a وb، واضغط «الخطوة التالية» لتوزيع الأعداد الأولية على مخطط فن، واختر «المسألة» مثل الحافلتين أو البلاطات.

المعاملات القابلة للتغيير

• الغربال حتى N 30–200
• تلوين المضاعفات بلون العدد الأولي الذي شطبها
• تنفيذ الخطوات تلقائيًا
• زمن الخطوة (تلقائي) 0.3–3 s
• الشاشة الغربال, أشجار العوامل, ق.م.أ وم.م.أ
• العدد المراد تحليله n 2–1000
• العدد الأول a 2–500
• العدد الثاني b 2–500
• مسألة كلامية بدون, حافلتان, بلاطات مربعة

أسئلة للاستكشاف

1. عند N = 100، بعد أي عدد أولي يتوقف الغربال عن شطب أعداد جديدة؟ ولماذا؟
2. إذا جرّبت ثلاثة تحليلات أولى مختلفة للعدد 360، فهل تنتهي أشجار العوامل دائمًا بالأعداد الأولية نفسها؟
3. لماذا يساوي المضاعف المشترك الأصغر لعددين أوليين فيما بينهما جداءَهما؟