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Crible d'Ératosthène – trouver les nombres premiers

MathématiquesNombres et calcul11–12 ans

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Une grille des nombres de 1 à N. À chaque clic sur « Étape suivante », le plus petit nombre premier non marqué passe en bleu et ses multiples sont barrés d'une couleur qui lui est propre. Cliquez sur une case pour voir ses diviseurs et ses multiples sur la grille et savoir aussitôt s'il est premier ou composé. L'écran Arbres de facteurs permet de décomposer un nombre en produit de puissances de nombres premiers et de voir ses couples de diviseurs sous forme de rectangles ; l'écran PGCD et PPCM range les facteurs premiers de deux nombres dans un diagramme de Venn, avec des problèmes de bus et de carrelage.

Leçon : Nombres premiers et composés ; diviseurs et multiples ; décomposition en facteurs premiers ; PGCD et PPCM

Ce qu’elle montre

Le crible d'Ératosthène trouve les nombres premiers jusqu'à N : à partir de 2, le plus petit nombre non barré est premier et l'on barre ses autres multiples ; dès que p² > N, tout ce qui reste est premier. Arbres de facteurs illustre le théorème fondamental de l'arithmétique : quelle que soit la décomposition, les feuilles premières sont les mêmes, la décomposition en facteurs premiers est unique et les exposants donnent le nombre de diviseurs. Dans PGCD et PPCM, les facteurs communs vont dans l'intersection du diagramme de Venn : leur produit est le PGCD, celui du diagramme le PPCM, et PGCD × PPCM = a × b.

Mode d’emploi

Dans Crible, choisissez Crible jusqu'à N, cliquez sur Étape suivante ou utilisez Auto, puis cliquez sur des cases pour voir diviseurs et multiples. Dans Arbres de facteurs, saisissez n, touchez un nombre orange et choisissez un couple de facteurs jusqu'à ce que chaque branche finisse par un nombre premier ; Tout décomposer suit le plus petit facteur premier. Dans PGCD et PPCM, saisissez a et b, cliquez sur Étape suivante pour remplir le diagramme de Venn et choisissez un Problème.

Paramètres modifiables

  • Crible jusqu'à N 30–200
  • Colorer les multiples selon le nombre premier qui les a barrés
  • Étapes automatiques
  • Durée d'une étape (auto) 0,3–3 s
  • Écran Crible, Arbres de facteurs, PGCD et PPCM
  • Nombre à décomposer n 2–1000
  • Premier nombre a 2–500
  • Second nombre b 2–500
  • Problème concret Aucun, Deux bus, Carreaux carrés

Questions à explorer

  1. Avec N = 100, après quel nombre premier le crible cesse-t-il de barrer de nouveaux nombres ? Pourquoi ?
  2. Deux arbres de facteurs différents de 360 finissent-ils toujours par les mêmes nombres premiers ?
  3. Pourquoi le PPCM de deux nombres premiers entre eux est-il égal à leur produit ?

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