Sieb des Eratosthenes – Primzahlen finden
MathematikZahlen und RechnenAlter 11–12
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Als Nächstes in Zahlen und Rechnen
Ein Raster mit den Zahlen von 1 bis N. Bei jedem Klick auf „Nächster Schritt“ wird die kleinste noch nicht markierte Primzahl blau hervorgehoben und ihre Vielfachen werden in eigener Farbe durchgestrichen. Klicken Sie auf ein Feld, um seine Teiler und Vielfachen im Raster zu sehen und sofort zu erkennen, ob die Zahl prim oder zusammengesetzt ist. Der Bildschirm Faktorbäume zerlegt eine Zahl schrittweise in ein Produkt von Primzahlpotenzen und zeigt ihre Teilerpaare als Rechtecke; der Bildschirm ggT und kgV sortiert die Primfaktoren zweier Zahlen in ein Venn-Diagramm, mit Aufgaben zu Bussen und Fliesen.
Lektion: Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen; Teiler und Vielfache; Primfaktorzerlegung; ggT und kgV
Was sie zeigt
Das Sieb des Eratosthenes findet alle Primzahlen bis N: Ab 2 ist die kleinste nicht gestrichene Zahl prim, und ihre übrigen Vielfachen werden gestrichen; sobald p² > N gilt, sind alle restlichen Zahlen prim. Der Bildschirm Faktorbäume nutzt den Fundamentalsatz der Arithmetik: Wie man eine Zahl auch zerlegt, die Primzahl-Blätter sind dieselben, die Darstellung als Produkt von Primzahlpotenzen ist also eindeutig, und aus den Exponenten folgt die Anzahl der Teiler. Bei ggT und kgV kommen gemeinsame Primfaktoren in die Schnittmenge eines Venn-Diagramms: Ihr Produkt ist der ggT, das Produkt des ganzen Diagramms das kgV, und ggT × kgV = a × b.
So funktioniert es
Wählen Sie bei Sieb den Wert Sieben bis N, klicken Sie auf Nächster Schritt oder nutzen Sie Auto, und klicken Sie dann Felder an, um Teiler und Vielfache zu sehen. Geben Sie bei Faktorbäume n ein, tippen Sie eine orange Zahl an und wählen Sie ein Faktorpaar, bis jeder Ast mit einer Primzahl endet; Alles zerlegen geht über die kleinste Primzahl. Geben Sie bei ggT und kgV a und b ein, füllen Sie mit Nächster Schritt das Venn-Diagramm und wählen Sie eine Aufgabe.
Einstellbare Parameter
- Sieben bis N 30–200
- Vielfache in der Farbe der streichenden Primzahl färben
- Schritte automatisch ausführen
- Zeit pro Schritt (automatisch) 0,3–3 s
- Bildschirm Sieb, Faktorbäume, ggT und kgV
- Zu zerlegende Zahl n 2–1000
- Erste Zahl a 2–500
- Zweite Zahl b 2–500
- Sachaufgabe Keine, Zwei Busse, Quadratische Fliesen
Fragen zum Erkunden
- Nach welcher Primzahl streicht das Sieb bei N = 100 keine neuen Zahlen mehr? Warum?
- Enden zwei verschiedene Faktorbäume von 360 immer mit denselben Primzahlen?
- Warum ist das kgV zweier teilerfremder Zahlen gleich ihrem Produkt?
