المتجهات – الجمع والطرح والضرب في عدد والضرب القياسي

ماذا تعرض

يمكن إجراء العمليات على المتجهات في المستوى هندسيًا وبالإحداثيات معًا. المجموع u + v هو قطر متوازي الأضلاع المنشأ على u وv، ويساوي (x₁ + x₂; y₁ + y₂). أما الفرق u − v فيمتد من رأس v إلى رأس u. والمتجه k·u موازٍ لـ u وطوله |k| مرة من طول u، وينعكس اتجاهه عندما يكون k سالبًا. والضرب القياسي u·v = x₁x₂ + y₁y₂ = |u||v|cos(u, v) عدد لا متجه: يكون موجبًا إذا كانت الزاوية حادة، وصفرًا إذا تعامد المتجهان، وسالبًا إذا كانت الزاوية منفرجة.

طريقة الاستخدام

اختر «العملية الابتدائية»، ثم اسحب رأسي u وv على الشبكة، أو اضبط إحداثياتهما و«العدد k». في الجمع والطرح، قارن الرسم بالحساب بالإحداثيات في سطر المعلومات. في k·u، جرّب قيمًا موجبة وسالبة وكسرية للعدد k. في الضرب القياسي، حرّك v حول u ولاحظ إشارة u·v والمسقط الأخضر عندما تتجاوز الزاوية 90°.

المعاملات القابلة للتغيير

• u: الإحداثي x₁ -6–6
• u: الإحداثي y₁ -6–6
• v: الإحداثي x₂ -6–6
• v: الإحداثي y₂ -6–6
• العدد k (للمتجه k·u) -3–3
• العملية الابتدائية المجموع u + v, الفرق u − v, الضرب في عدد k·u, الضرب القياسي u·v

أسئلة للاستكشاف

1. إذا كان u = (4; 1)، فأوجد متجهًا v بحيث u·v = 0. كم متجهًا كهذا يتسع على الشبكة؟
2. ما العلاقة بين u − v وv − u في الرسم وفي الإحداثيات؟
3. ما قيم k التي تجعل k·u في عكس اتجاه u، وماذا يحدث عندما k = 0؟