Vecteurs – somme, différence, produit par un réel et produit scalaire

Ce qu’elle montre

Les vecteurs du plan se combinent à la fois géométriquement et par leurs coordonnées. La somme u + v est la diagonale du parallélogramme construit sur u et v et vaut (x₁ + x₂ ; y₁ + y₂). La différence u − v va de l'extrémité de v à l'extrémité de u. Le produit k·u est colinéaire à u, |k| fois plus long, et change de sens quand k est négatif. Le produit scalaire u·v = x₁x₂ + y₁y₂ = |u||v|cos(u, v) est un nombre, pas un vecteur : positif pour un angle aigu, nul pour des vecteurs orthogonaux et négatif pour un angle obtus.

Mode d’emploi

Choisissez l'Opération de départ, puis faites glisser les extrémités de u et v sur le quadrillage, ou réglez leurs coordonnées et le Réel k. Pour la somme et la différence, comparez la figure avec le calcul en coordonnées de la ligne d'information. Pour k·u, essayez des valeurs de k positives, négatives et non entières. Pour le produit scalaire, déplacez v autour de u et observez le signe de u·v et la projection verte quand l'angle dépasse 90°.

Paramètres modifiables

• u : abscisse x₁ -6–6
• u : ordonnée y₁ -6–6
• v : abscisse x₂ -6–6
• v : ordonnée y₂ -6–6
• Réel k (pour k·u) -3–3
• Opération de départ Somme u + v, Différence u − v, Produit par un réel k·u, Produit scalaire u·v

Questions à explorer

1. Avec u = (4 ; 1), quel vecteur v vérifie u·v = 0 ? Combien de tels vecteurs tiennent sur le quadrillage ?
2. Quel lien y a-t-il entre u − v et v − u, sur la figure et en coordonnées ?
3. Pour quelles valeurs de k le vecteur k·u est-il de sens contraire à u, et que se passe-t-il pour k = 0 ?