Vektoren – Summe, Differenz, Vielfaches und Skalarprodukt

Was sie zeigt

Vektoren in der Ebene lassen sich geometrisch und mit Koordinaten verknüpfen. Die Summe u + v ist die Diagonale des von u und v aufgespannten Parallelogramms und gleich (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Die Differenz u − v führt von der Spitze von v zur Spitze von u. Das Vielfache k·u ist parallel zu u, |k|-mal so lang und kehrt bei negativem k die Richtung um. Das Skalarprodukt u·v = x₁x₂ + y₁y₂ = |u||v|cos(u, v) ist eine Zahl, kein Vektor: positiv bei spitzem Winkel, null bei orthogonalen Vektoren und negativ bei stumpfem Winkel.

So funktioniert es

Wählen Sie die Anfangsoperation und ziehen Sie die Spitzen von u und v im Gitter, oder stellen Sie die Koordinaten und die Zahl k ein. Bei Summe und Differenz vergleichen Sie die Zeichnung mit der Koordinatenrechnung in der Infozeile. Bei k·u probieren Sie positive, negative und gebrochene Werte für k. Beim Skalarprodukt bewegen Sie v um u herum und beobachten das Vorzeichen von u·v und die grüne Projektion, wenn der Winkel 90° überschreitet.

Einstellbare Parameter

• u: x-Koordinate x₁ -6–6
• u: y-Koordinate y₁ -6–6
• v: x-Koordinate x₂ -6–6
• v: y-Koordinate y₂ -6–6
• Zahl k (für k·u) -3–3
• Anfangsoperation Summe u + v, Differenz u − v, Vielfaches k·u, Skalarprodukt u·v

Fragen zum Erkunden

1. Welcher Vektor v erfüllt mit u = (4; 1) die Bedingung u·v = 0? Wie viele solche Vektoren passen ins Gitter?
2. Wie hängen u − v und v − u zusammen, in der Zeichnung und in Koordinaten?
3. Für welche Werte von k zeigt k·u entgegengesetzt zu u, und was geschieht bei k = 0?