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Der Bruchterm (ax + b)/(cx + d): Definitionsmenge und Graph

MathematikAlgebraAlter 13–14

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Stellt den Wert des Bruchterms y = (ax + b)/(cx + d) in Abhängigkeit von x grafisch dar. Die Lernenden ziehen die Regler a, b, c, d und den Punkt P entlang des Graphen, um den Wert des Terms für ein bestimmtes x zu sehen; die Simulation nennt die Bedingung cx + d ≠ 0 für die Definitionsmenge, die senkrechte Asymptote x = −d/c, die waagerechte Asymptote y = a/c und den Fall, in dem sich der Term kürzen lässt (ad − bc = 0).

Lektion: Bruchterme: Definitionsmenge und Termwert

Was sie zeigt

Ein Bruchterm wie (ax + b)/(cx + d) hat nur dort einen Wert, wo der Nenner nicht null ist; die Definitionsmenge schließt deshalb x = −d/c aus. Im Graphen wird diese Regel als sichtbare Unterbrechung der Kurve erkennbar. In der Nähe der ausgeschlossenen Stelle ist der Nenner sehr klein und der Wert wächst unbeschränkt, es entsteht eine senkrechte Asymptote; für großes |x| nähert sich der Wert a/c, der waagerechten Asymptote. Ist ad − bc = 0, so ist der Zähler ein Vielfaches des Nenners: Der Term lässt sich zu einer Konstanten kürzen, und der Graph ist eine waagerechte Gerade mit einem fehlenden Punkt.

So funktioniert es

Beginnen Sie mit den voreingestellten Koeffizienten und ziehen Sie P entlang des Graphen, um den Termwert an mehreren Stellen abzulesen, auch ganz nahe an der Polstelle. Ändern Sie Koeffizient c und Koeffizient d und lassen Sie die Lernenden vorhersagen, wohin sich die Polstelle verschiebt, bevor sie hinsehen; aktivieren Sie dann Asymptoten zeigen zur Kontrolle. Wählen Sie anschließend a, b, c, d mit ad − bc = 0, etwa 2, 4, 1, 2, und suchen Sie den offenen Punkt.

Einstellbare Parameter

  • Koeffizient a (Zähler) -6–6
  • Koeffizient b (Zähler) -6–6
  • Koeffizient c (Nenner) -6–6
  • Koeffizient d (Nenner) -6–6
  • Asymptoten zeigen
  • Achsenbereich (−R … R) 4–20

Fragen zum Erkunden

  1. Welcher Wert von x gehört nicht zur Definitionsmenge von (x + 2)/(x − 1), und was macht der Graph dort?
  2. Warum kann der Graph die senkrechte Gerade x = −d/c nie schneiden?
  3. Welche Art von Term und welche Art von Graph erhalten Sie, wenn Koeffizient c gleich 0 ist?

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