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Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten – Ebenen und Gauß-Verfahren

MathematikAlgebraAlter 15–16

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Jede Gleichung ax + by + cz = d ist eine Ebene im Raum. Drehen Sie das 3D-Koordinatensystem und sehen Sie, wie sich drei Ebenen in einem Punkt schneiden (genau eine Lösung), sich paarweise in drei parallelen Geraden schneiden (keine Lösung) oder eine gemeinsame Gerade haben (unendlich viele Lösungen), während Sie das Gauß-Verfahren an der erweiterten Koeffizientenmatrix Schritt für Schritt durchgehen, um zu sehen, warum das System in diesen Fall fällt. Die Schaltfläche 2D | 3D wechselt zu einer echten 3D-Ansicht (WebGL): die drei farbigen Ebenen im Oxyz-Koordinatensystem, ihre Schnittgeraden und der Lösungspunkt, frei dreh- und zoombar.

Lektion: Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten

Was sie zeigt

Eine lineare Gleichung ax + by + cz = d mit drei Unbekannten beschreibt eine Ebene im Raum; ein System aus drei solchen Gleichungen zu lösen heißt also, die gemeinsamen Punkte dreier Ebenen zu finden. Die Ebenen können sich in genau einem Punkt schneiden (eindeutige Lösung), eine gemeinsame Gerade haben (unendlich viele Lösungen mit einer freien Variablen) oder keinen gemeinsamen Punkt besitzen, etwa wenn sie sich paarweise in drei parallelen Geraden schneiden. Das Gauß-Verfahren an der erweiterten Koeffizientenmatrix führt algebraisch zum selben Ergebnis: Eine Zeile 0 = Zahl ungleich null bedeutet keine Lösung, eine Nullzeile bedeutet, dass eine Gleichung von den anderen abhängt.

So funktioniert es

Wählen Sie ein System und lassen Sie die Lernenden vorhersagen, wie die drei Ebenen zueinander liegen. Drehen Sie die Figur oder nutzen Sie die Schaltfläche 2D | 3D für die WebGL-Ansicht, um die Vorhersage zu prüfen. Klicken Sie dann mehrmals auf Weiter und verbinden Sie jede Zeilenumformung mit der Matrix; mit Zurück gehen Sie einen Schritt zurück. Beim System mit Parameter m ziehen Sie am Parameter m und suchen den Wert, bei dem die eindeutige Lösung verschwindet.

Einstellbare Parameter

  • System Einkaufsaufgabe (genau eine Lösung), System mit Parameter m, Keine Lösung, Unendlich viele Lösungen
  • Parameter m (für das System mit Parameter) -6–6
  • Währung (Einkaufsaufgabe) Nach der Sprache, US-Dollar, Euro, Indische Rupie, Indonesische Rupiah, Saudi-Riyal

Fragen zum Erkunden

  1. Kann das System eine Lösung haben, wenn alle drei Ebenen zueinander parallel sind? Was zeigt das Gauß-Verfahren?
  2. Für welchen Wert von m hat das System mit Parameter keine Lösung, und welche Zeile entsteht dabei?
  3. Warum entspricht ein System mit unendlich vielen Lösungen einer Geraden, die allen drei Ebenen gemeinsam ist?

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