Binomische Formeln – zerschneiden und neu legen

Was sie zeigt

Binomische Formeln lassen sich mit Flächen beweisen. Ein Quadrat mit der Seite a + b zerfällt in ein Quadrat a², ein Quadrat b² und zwei Rechtecke a × b; das zeigt, warum (a + b)² = a² + 2ab + b² gilt und nicht a² + b². Bei (a − b)² erklären die Streifen, die von einem Quadrat mit Seite a abgeschnitten werden, den Term −2ab. Bei a² − b² wird ein Quadrat b² aus einer Ecke von a² entfernt, und der L-förmige Rest wird in zwei Rechtecke zerlegt, die sich zu einem Rechteck (a + b) × (a − b) zusammensetzen: der Faktorisierung einer Differenz zweier Quadrate.

So funktioniert es

Wählen Sie eine Formel mit den Schaltflächen (a + b)², (a − b)² oder a² − b² und ziehen Sie dann an den Griffen oder ändern Sie Länge a und Länge b. Lassen Sie die Lernenden bei eingeblendeten Flächenangaben die Teilflächen addieren und mit der Zahlenformel unter der Figur vergleichen. Mit Teilen / Zusammen werden die Teile getrennt und wieder zusammengesetzt, besonders anschaulich bei a² − b², wo das neu gelegte Rechteck die Faktorisierung sichtbar macht.

Einstellbare Parameter

• Länge a 2–10 Einheiten
• Länge b 0,5–9 Einheiten
• Formel (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², a² − b² = (a + b)(a − b)
• Flächenangaben auf den Teilen zeigen

Fragen zum Erkunden

1. Warum ist (a + b)² für positive a und b größer als a² + b², und um wie viel?
2. Stellen Sie a = 9 und b = 4 ein. Welche Seiten hat das neu gelegte Rechteck, und wie groß ist 9² − 4²?
3. Wie groß ist die Gesamtfläche der beiden Rechtecke ab, und wo erscheint sie in der Formel?