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Algèbre et coniques – systèmes linéaires, récurrence et binôme, coniques

MathématiquesAlgèbre15–16 ans

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Trois thèmes d'approfondissement en mathématiques dans une seule simulation, choisis avec le paramètre de thème. Système de trois équations linéaires : avancez pas à pas dans la méthode du pivot de Gauss sur la matrice des coefficients pour voir si le système a une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Récurrence et formule du binôme : cliquez sur les cases du triangle de Pascal pour voir la relation de Pascal et le développement de (a+b)^n, avec un schéma en escalier qui démontre 1+2+…+n = n(n+1)/2. Coniques : faites glisser le point M sur la courbe, vérifiez que MF = e·d(M, Δ), et observez l'ellipse, la parabole et l'hyperbole quand l'excentricité e varie.

Leçon : Systèmes de trois équations linéaires ; raisonnement par récurrence et formule du binôme ; les trois coniques et leurs applications

Ce qu’elle montre

Trois thèmes partagent une même page. Un système de trois équations linéaires décrit trois plans ; la méthode du pivot de Gauss le rend triangulaire, et la dernière ligne indique si les plans se coupent en un point, n'ont aucun point commun (ligne 0 = 1) ou une infinité de points communs (ligne 0 = 0). Le triangle de Pascal suit la règle C(n ; k) = C(n − 1 ; k − 1) + C(n − 1 ; k), donne les coefficients de (a + b)ⁿ et sert de base à une démonstration par récurrence. Les coniques sont définies ensemble comme les points M tels que MF = e·d(M, Δ) : ellipse si e < 1, parabole si e = 1, hyperbole si e > 1.

Mode d’emploi

Choisissez le Thème affiché. Pour le système, sélectionnez un Exemple de système de trois équations, cliquez sur Étape suivante à chaque élimination et lisez la dernière ligne ; Changer de système compare les trois cas. Pour le triangle de Pascal, cliquez sur Ajouter ligne (n + 1) puis sur une case pour voir de quels deux nombres elle provient. Pour les coniques, modifiez Excentricité e de la conique ou cliquez sur Augmenter e, et faites glisser le point M pour vérifier que MF/d(M, Δ) reste égal à e.

Paramètres modifiables

  • Thème affiché 1. Système de trois équations linéaires, 2. Récurrence et formule du binôme, 3. Coniques et applications
  • Exemple de système de trois équations Système à solution unique, Système sans solution, Système à une infinité de solutions
  • Exposant n de (a + b)ⁿ et nombre de termes de la somme 1–10
  • Excentricité e de la conique 0,2–2,4
  • Afficher les étiquettes et valeurs détaillées

Questions à explorer

  1. Quelle ligne de la matrice réduite montre qu'un système de trois équations linéaires n'a pas de solution ?
  2. Quelle est la somme des nombres de la ligne n du triangle de Pascal, et pourquoi ?
  3. Pour quelle valeur de e la conique est-elle une parabole, et que devient la courbe quand e dépasse cette valeur ?

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