Optimierungsprobleme aus dem Alltag mit Ableitungen

Was sie zeigt

Drei Alltagsprobleme zeigen den vollständigen Weg einer Optimierung mit Ableitungen: eine Zielfunktion aufstellen, sie auf einen sinnvollen Definitionsbereich einschränken und ihr Maximum oder Minimum bestimmen. Eine zylindrische Dose mit festem Volumen braucht am wenigsten Material, wenn ihre Höhe gleich ihrem Durchmesser ist. Eine offene Schachtel aus einem quadratischen Karton der Seitenlänge a hat das größte Volumen, wenn an den Ecken Quadrate der Seite a/6 ausgeschnitten werden. Die Gewinnfunktion L(g) = (g − c)(2000 − 10g) ist bei g = 100 + c/2 maximal. Das Optimum liegt jeweils dort, wo f'(x) das Vorzeichen wechselt.

So funktioniert es

Wählen Sie ein Problem und bewegen Sie den Regler der Variablen (Grundradius r, Eckquadrat x oder Verkaufspreis g): Bild, Graphen von f(x) und f'(x) sowie Monotonietabelle ändern sich gemeinsam. Die Lernenden bestimmen das Optimum über das Vorzeichen der Ableitung, bevor sie es ablesen. Ändern Sie dann den Parameter des Problems (Dosenvolumen, Kartonseite a oder Stückkosten c) und beobachten Sie, wie das Optimum wandert; besprechen Sie bei der Dose, warum echte Dosen anders aussehen.

Einstellbare Parameter

• Problem Dose mit möglichst wenig Material, Offene Schachtel mit größtem Volumen, Verkaufspreis für den größten Gewinn
• Wert der Variablen (Anteil am Definitionsbereich) 0,02–0,98
• Parameter (Dosenvolumen mL / Kartonseite cm / Stückkosten c) 10–500
• Währung (Aufgabe Verkaufspreis) Nach der Sprache, US-Dollar, Euro, Indische Rupie, Indonesische Rupiah, Saudi-Riyal

Fragen zum Erkunden

1. Wie verhält sich bei der Dose mit dem geringsten Materialbedarf die Höhe zum Durchmesser der Grundfläche?
2. Warum muss man den Definitionsbereich der Variablen bestimmen, bevor man die Monotonietabelle aufstellt?
3. Ist eine Stelle mit f'(x) = 0 immer das Optimum? Was muss dort mit dem Vorzeichen von f'(x) geschehen?