Das Integral als Grenzwert von Rechtecksummen

Was sie zeigt

Die Fläche zwischen dem Graphen y = f(x) und der x-Achse auf [a, b] wird durch n Rechtecke (links, rechts, Mitte) oder Trapeze angenähert; mit wachsendem n strebt die Riemann-Summe gegen das bestimmte Integral F(b) − F(a). Weitere Ansichten zeigen die orientierte Fläche (Teile unterhalb der Achse zählen negativ, Integral gegenüber Gesamtfläche), die Intervalladditivität ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ, das Vertauschen der Grenzen und die Linearität, den Mittelwert von f mit der Stelle c, an der f(c) ihn annimmt, das uneigentliche Integral von 1/xᵖ von 1 bis ∞, das nur für p > 1 konvergiert, und einen Tank, dessen Füllmenge das Integral der Nettozuflussrate ist.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Ansicht eine Darstellung. Bei Riemann-Summen ziehen Sie a und b, ändern die Anzahl der Rechtecke n und vergleichen Links, Rechts, Mitte und Trapez; Starten erhöht n. In den anderen Ansichten ziehen Sie die Grenzen im Graphen und wählen eine Funktion; unter Eigenschaften des Integrals wechseln Sie zwischen Additivität, Grenzen vertauschen und Linearität. Beim uneigentlichen Integral stellen Sie p ein und klicken auf b → ∞ starten. Beim Tank stellen Sie Zufluss und Abfluss ein und klicken auf Starten.

Einstellbare Parameter

• Funktion f(x) = x², f(x) = sin x + 1, f(x) = x³ − 3x + 3, v(t) = 2t + 1 (Geschwindigkeit, m/s)
• Untere Grenze a -3–5
• Obere Grenze b -3–5
• Anzahl der Rechtecke n 1–200
• Stelle für die Höhe Linker Rand, Rechter Rand, Mittelpunkt, Trapez
• Ansicht Riemann-Summen, Orientierte Fläche, Eigenschaften des Integrals, Mittelwert, Uneigentliches Integral, Zu- und Abfluss (Tank)

Fragen zum Erkunden

1. Warum ist für f(x) = x² auf [0, 2] die Summe mit linkem Rand immer kleiner als das Integral?
2. Warum konvergiert das Integral von 1/x² von 1 bis ∞, während das Integral von 1/x divergiert?
3. Welches Vorzeichen hat die Summe Sₙ, wenn f(x) auf dem ganzen Intervall [a, b] negativ ist?