Parabel und Tangente in einem beweglichen Punkt

Was sie zeigt

Die Ableitung an der Stelle x₀ ist die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt mit der x-Koordinate x₀. Für die Parabel y = ax² + bx + c ist die Ableitung y′ = 2ax + b linear, die Steigung ändert sich also gleichmäßig, wenn der Punkt wandert. Die Tangente in M(x₀; y₀) hat die Gleichung y = y′(x₀)(x − x₀) + y₀. Sie ist genau im Scheitelpunkt waagerecht, wo 2ax₀ + b = 0 gilt, und liegt ganz auf einer Seite der Parabel, die sie nur in M berührt: ein besseres Bild der Tangente als „schneidet die Kurve einmal“.

So funktioniert es

Stellen Sie Koeffizient a, Koeffizient b und Koeffizient c für die Parabel und Anfangs-x-Koordinate von M für den Startpunkt ein. Anschließend ziehen die Lernenden M entlang der Kurve und verfolgen die Steigung k und die Tangentengleichung unter dem Graphen. Lassen Sie sie herausfinden, wo die Tangente waagerecht ist, wo die Steigung negativ ist und wie sich k ändert, wenn M von links nach rechts wandert.

Einstellbare Parameter

• Koeffizient a -5–5
• Koeffizient b -10–10
• Koeffizient c -10–10
• Anfangs-x-Koordinate von M -8–8

Fragen zum Erkunden

1. In welchem Punkt der Parabel verläuft die Tangente parallel zur x-Achse, und wie hängt dieser Punkt mit dem Scheitelpunkt zusammen?
2. Wie lautet die Gleichung der Tangente an y = x² − 2x − 3 bei x₀ = 2?
3. Wie ändert sich die Steigung k, wenn M von links nach rechts wandert, und was ändert sich bei negativem a?