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Funktionsmodelle an Daten anpassen – Residuen, R² und Linearisierung

MathematikFunktionen und GraphenAlter 16–17

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Wählen Sie einen Datensatz aus einem realen Kontext (ein abkühlendes Getränk, eine Medikamentenkonzentration, die Weltbevölkerung, Hefewachstum, ein geworfener Ball, Gezeiten, Tageslänge, pH-Wert, das dritte Keplersche Gesetz, Druckkosten) und passen Sie ein lineares, quadratisches, exponentielles, exponentielles Modell mit Asymptote, Potenz-, Logarithmus-, logistisches oder Sinusmodell mit der Methode der kleinsten Quadrate oder durch Ziehen der Parameter an. Residuendiagramme, R² und eine Vergleichstabelle helfen, das beste Modell zu wählen und es an neuen Daten zu prüfen; der Bildschirm Linearisieren nutzt halblogarithmische und doppeltlogarithmische Darstellungen.

Lektion: Modellieren mit Funktionen: Modellanpassung, Residuen, Bestimmtheitsmaß R² und Linearisierung

Was sie zeigt

Jedes Modell hat Parameter, die die Methode der kleinsten Quadrate so wählt, dass die Summe der quadrierten Residuen SSres = Σ(y − ŷ)² möglichst klein wird. R² = 1 − SSres/SStot misst, welcher Anteil der Streuung von y durch das Modell erklärt wird, und der RMSE gibt einen typischen Fehler in der Einheit von y an. Ein Modell mit mehr Parametern hat nie ein kleineres R²; beurteilen Sie es daher auch am Muster der Residuen, an der Bedeutung der Parameter und an seinen Vorhersagen für neue Daten. Exponential- und Potenzmodelle werden hier direkt an y angepasst; Taschenrechner rechnen über ln y und erhalten etwas andere Werte.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Datensatz und ein Modell. Mit Kleinste Quadrate erscheinen sofort die besten Parameter; klicken Sie auf Parameter ziehen und verschieben Sie die Schieberegler, um selbst das kleinste SSres zu erreichen. Achten Sie im Residuendiagramm auf ein Muster, aktivieren Sie Neue Daten, um Vorhersagen zu prüfen, und klicken Sie auf eine Tabellenzeile, um das Modell zu wechseln. Ändern Sie unter Linearisieren die Achsen und nutzen Sie c von y abziehen.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Modelle anpassen, Linearisieren
  • Datensatz Heißes Getränk kühlt ab, Medikament im Blut, Weltbevölkerung 1950–2000, Hefewachstum, Ball senkrecht nach oben geworfen, Wasserstand bei Gezeiten, Tageslänge im Jahresverlauf, pH-Wert von HCl-Lösungen, Umlaufzeiten der Planeten, Kosten für Posterdruck, Eigene Daten
  • Modell Linear y = ax + b, Quadratisch y = a(x − h)² + k, Exponentiell y = a·bˣ, Exponentiell mit Asymptote y = a·bˣ + c, Potenz y = a·xᵇ, Logarithmisch y = a + b·ln x, Logistisch y = L/(1 + C·e⁻ᵏˣ), Sinus y = a·sin(b(x − c)) + d
  • Parameter Kleinste Quadrate, Parameter ziehen
  • Residuendiagramm anzeigen
  • Neue Daten zum Prüfen anzeigen
  • Achsen (Bildschirm Linearisieren) y gegen x, ln y gegen x (halblogarithmisch), ln y gegen ln x (doppeltlogarithmisch)
  • Konstante c von y abziehen (Bildschirm Linearisieren) 0–50

Fragen zum Erkunden

  1. Warum passt eine Gerade mit hohem R² zu den Abkühlungsdaten, obwohl ihre Residuen ein deutliches Muster zeigen?
  2. Mehrere Modelle der Weltbevölkerung haben R² über 0,99: Welches sagt 2005–2020 am besten voraus, und warum genügt ein hohes R² nicht?
  3. Welche Darstellung macht die Planetendaten zu einer Geraden, und was sagt ihre Steigung über das dritte Keplersche Gesetz?

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