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Ajuste de modelos de funciones – residuos, R² y linealización

MatemáticasFunciones y gráficasEdades 16–17

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Elige un conjunto de datos de un contexto real (una bebida que se enfría, la concentración de un fármaco, la población mundial, el crecimiento de levadura, una pelota lanzada, las mareas, la duración del día, el pH, la tercera ley de Kepler, el coste de impresión) y ajusta un modelo lineal, cuadrático, exponencial, exponencial con asíntota, potencial, logarítmico, logístico o sinusoidal por mínimos cuadrados o arrastrando los parámetros. Los gráficos de residuos, R² y una tabla comparativa te ayudan a elegir el mejor modelo y probarlo con datos nuevos; la pantalla Linealizar usa gráficos semilogarítmicos y log–log.

Lección: Modelización con funciones: ajuste de modelos, residuos, coeficiente de determinación R² y linealización

Qué muestra

Cada modelo tiene parámetros que el método de mínimos cuadrados elige para que la suma de los cuadrados de los residuos SSres = Σ(y − ŷ)² sea lo más pequeña posible. R² = 1 − SSres/SStot mide qué parte de la variación de y explica el modelo, y RMSE da un error típico en las unidades de y. Un modelo con más parámetros nunca tiene un R² menor, así que júzgalo también por el patrón de los residuos, por el significado de los parámetros y por cómo predice datos nuevos. Los modelos exponencial y potencial se ajustan directamente a y; las calculadoras los ajustan a través de ln y, lo que da valores algo distintos.

Cómo usarla

Elige un Conjunto de datos y un Modelo. Con Mínimos cuadrados aparecen al instante los mejores parámetros; pulsa Arrastrar parámetros y mueve los deslizadores para acercarte tú al menor SSres. Busca un patrón en el Gráfico de residuos, marca Datos nuevos para probar las predicciones y haz clic en una fila de la tabla para cambiar de modelo. En Linealizar, cambia los Ejes y usa Restar c a y.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Ajustar modelos, Linealizar
  • Conjunto de datos Bebida caliente que se enfría, Concentración de un fármaco en sangre, Población mundial 1950–2000, Crecimiento de levadura, Pelota lanzada hacia arriba, Altura de la marea, Duración del día a lo largo del año, pH de disoluciones de HCl, Períodos orbitales de los planetas, Coste de imprimir pósteres, Tus propios datos
  • Modelo Lineal y = ax + b, Cuadrático y = a(x − h)² + k, Exponencial y = a·bˣ, Exponencial con asíntota y = a·bˣ + c, Potencial y = a·xᵇ, Logarítmico y = a + b·ln x, Logístico y = L/(1 + C·e⁻ᵏˣ), Sinusoidal y = a·sen(b(x − c)) + d
  • Parámetros Mínimos cuadrados, Arrastrar parámetros
  • Mostrar gráfico de residuos
  • Mostrar datos nuevos para comprobar
  • Ejes (pantalla Linealizar) y frente a x, ln y frente a x (semilogarítmico), ln y frente a ln x (log–log)
  • Restar una constante c a y (pantalla Linealizar) 0–50

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué una recta se ajusta a los datos de enfriamiento con un R² alto aunque sus residuos muestran un patrón claro?
  2. ¿Qué modelo de población mundial predice mejor 2005–2020, si varios tienen R² mayor que 0,99, y por qué no basta un R² alto?
  3. ¿Qué gráfico convierte los datos de los planetas en una recta y qué te dice su pendiente sobre la tercera ley de Kepler?

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