Gebrochenrationale Funktionen – Asymptoten des Graphen

Was sie zeigt

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph immer weiter nähert. Bei y = (ax + b)/(cx + d) liefert eine Nennernullstelle die senkrechte Asymptote x = −d/c, außer der Zähler wird dort ebenfalls null; für x → ±∞ strebt der Quotient gegen a/c. Bei y = (ax² + bx + c)/(x + d) ergibt die Polynomdivision eine schiefe Asymptote. Ein gemeinsamer Faktor (x − k) in Zähler und Nenner lässt sich kürzen, doch x = k bleibt aus der Definitionsmenge ausgeschlossen: Der Graph hat dort eine Lücke statt einer Asymptote. Die Werkstatt faktorisiert, kürzt, addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert Bruchterme auf ihrer gemeinsamen Definitionsmenge.

So funktioniert es

Ändern Sie im Tab Graph und Asymptoten die Koeffizienten und lassen Sie die Asymptoten vorhersagen, bevor die Anzeige gelesen wird. Setzen Sie das Häkchen bei Gemeinsamen Faktor (x − k) ergänzen und verschieben Sie k: Die Tabelle zeigt, wie y sich von beiden Seiten demselben Wert nähert. Probieren Sie dann die Aufgabe. Wählen Sie im Tab Bruchwerkstatt Zähler, Nenner und Rechenart und decken Sie den Rechenweg mit Nächster Schritt auf.

Einstellbare Parameter

• Funktionstyp (ax + b)/(cx + d), (ax² + bx + c)/(x + d)
• Koeffizient a -5–5
• Koeffizient b -8–8
• Koeffizient c (linearer Nenner) / Absolutglied c -5–5
• Koeffizient d -6–6
• Ansicht Graph und Asymptoten, Bruchwerkstatt
• Gemeinsamer Faktor (x − k) in Zähler und Nenner
• Nullstelle k des gemeinsamen Faktors -6–6
• Erster Zähler 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Erster Nenner 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Rechenart Einen Bruch kürzen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren
• Zweiter Zähler 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Zweiter Nenner 1, x, x − 1, x + 1, x − 2, x + 2, x − 3, x + 3, 2x + 4, 3x − 6, x², x² − x, x² + 2x, x² − 1, x² − 4, x² − 9, x² + x − 2, x² − x − 2, x² − 3x + 2, x² − 5x + 6, x² + 4x + 4, x² − 2x + 1, x² + 1, 2x² − 8
• Schritte ausblenden, damit die Lernenden zuerst rechnen

Fragen zum Erkunden

1. Liefert eine Nennernullstelle immer eine senkrechte Asymptote, oder kann stattdessen eine Lücke entstehen?
2. Wie lautet die schiefe Asymptote von y = (x² + 1)/(x − 2)?
3. Kann der Graph von y = (ax + b)/(cx + d) seine waagerechte Asymptote y = a/c schneiden? Warum?