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Transformationen von Funktionsgraphen – Verschiebung, Streckung und Spiegelung von y = a·f(b(x − h)) + k

MathematikFunktionen und GraphenAlter 15–16

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Wählen Sie eine Grundfunktion (x, x², x³, |x|, √x, 1/x, 1/x², 2ˣ, eˣ, ln x, sin x) und ziehen Sie a, b, h und k in g(x) = a·f(b(x − h)) + k, um Streckungen, Spiegelungen und Verschiebungen zu sehen. Pfeile verbinden markante Punkte mit ihren Bildpunkten, und Schritte zeigen spielt die Transformationen in der richtigen Reihenfolge ab. Der Bildschirm Verwandte Graphen zeichnet |g(x)|, g(|x|), 1/g(x) und [g(x)]², der Bildschirm Symmetrie prüft, ob die Funktion gerade, ungerade oder selbstinvers ist.

Lektion: Transformationen von Funktionsgraphen; gerade und ungerade Funktionen

Was sie zeigt

Eine Grundfunktion f wird zu g(x) = a·f(b(x − h)) + k transformiert. Jeder Punkt (x | y) von f geht über in (x/b + h | a·y + k): eine Streckung in x-Richtung mit Faktor 1/b (mit Spiegelung an der y-Achse, falls b < 0), eine Verschiebung um h in x-Richtung, eine Streckung in y-Richtung mit Faktor a (mit Spiegelung an der x-Achse, falls a < 0) und eine Verschiebung um k in y-Richtung. Definitionsmenge, Wertemenge, Asymptoten, Amplitude und Periode folgen aus a, b, h und k. Gerade, ungerade und selbstinvers wird numerisch für x von −6 bis 6 geprüft, nicht algebraisch bewiesen.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Transformieren eine Grundfunktion und ziehen Sie die Regler a, b, h und k, oder ziehen Sie den Graphen, um ihn zu verschieben. Aktivieren Sie Markante Punkte, um jeden Punkt zu verfolgen, und klicken Sie auf Schritte zeigen, um die Transformationen der Reihe nach abzuspielen. Wählen Sie unter Verwandte Graphen einen Graphen wie y = 1/g(x) und ziehen Sie x₀. Wählen Sie unter Symmetrie einen Test und vergleichen Sie das gestrichelte Bild mit g. Zurücksetzen stellt die Startwerte wieder her.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Transformieren, Verwandte Graphen, Symmetrie
  • Grundfunktion f f(x) = x, f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = |x|, f(x) = √x, f(x) = 1/x, f(x) = 1/x², f(x) = 2ˣ, f(x) = eˣ, f(x) = ln x, f(x) = sin x
  • Koeffizient a (Streckung in y-Richtung; a < 0 spiegelt an der x-Achse) -4–4
  • Koeffizient b (Streckung in x-Richtung mit Faktor 1/b; b < 0 spiegelt an der y-Achse; b ≠ 0) -3–3
  • Verschiebung in x-Richtung h -5–5
  • Verschiebung in y-Richtung k -5–5
  • Markante Punkte und Pfeile zu ihren Bildpunkten zeigen
  • Verwandter Graph (Bildschirm Verwandte Graphen) y = |g(x)|, y = g(|x|), y = 1/g(x), y = [g(x)]²
  • Geprüfte Eigenschaft (Bildschirm Symmetrie) Gerade: g(−x) = g(x), Ungerade: g(−x) = −g(x), Selbstinvers: g(g(x)) = x
  • x-Koordinate x₀ des gewählten Punkts (Bildschirme Verwandte Graphen und Symmetrie) -5–5

Fragen zum Erkunden

  1. Warum ist der Graph von y = (2x − 4)² gegenüber y = (2x)² um 2 und nicht um 4 Einheiten verschoben?
  2. Ist y = 1/(x − 2) + 2 selbstinvers, und an welcher Geraden ist ihr Graph symmetrisch?
  3. Was geschieht beim Zeichnen von y = 1/g(x) mit den Nullstellen von g und den Punkten mit g(x) = ±1?

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