Verkettete Funktionen und Umkehrfunktionen – Pfeildiagramme, Graphen und Spiegelung an y = x
MathematikFunktionen und GraphenAlter 15–16
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Zum Starten anmeldenWählen Sie zwei Funktionen f und g (linear, quadratisch, exponentiell, Wurzel, Kehrwert) mit den Parametern a und b. Die Ansicht Verkettung zeichnet das Pfeildiagramm x → g(x) → f(g(x)) und den Graphen von f∘g, vergleicht ihn mit g∘f und gibt Definitions- und Wertemenge exakt an. Die Ansicht Summe & Produkt addiert oder multipliziert Funktionswerte, und die Ansicht Umkehrung spiegelt den Graphen an y = x, führt den Waagerechtentest durch, schränkt die Definitionsmenge ein und vergleicht die Tangentensteigungen in Spiegelpunkten.
Lektion: Verkettung, Umkehrfunktionen und Verknüpfung von Funktionen
Was sie zeigt
Die Funktionen f und g stammen aus fünf Familien: linear a·x + b, quadratisch a·x² + b, exponentiell a·eˣ + b, Wurzel a·√x + b und Kehrwert a/x + b. Die Verkettung (f∘g)(x) = f(g(x)) erscheint als verkettetes Pfeildiagramm und als Graph mit einer Konstruktion über die Gerade y = x. Ihre Definitionsmenge besteht aus den x der Definitionsmenge von g, für die g(x) in der Definitionsmenge von f liegt; Definitions- und Wertemengen werden exakt berechnet, Grenzen auf 2 Dezimalstellen gerundet. Die Umkehrfunktion ist die Spiegelung des Graphen an y = x und existiert nur für injektive Funktionen.
So funktioniert es
Beginnen Sie mit Verkettung: Stellen Sie f und g mit den Reglern a und b ein, ziehen Sie x₀ auf dem Graphen und folgen Sie den Pfeilen im Diagramm. Ändern Sie Reihenfolge, um f∘g mit g∘f zu vergleichen. Wählen Sie in Summe & Produkt eine Verknüpfung und beobachten Sie die Balken. Nehmen Sie in Umkehrung eine quadratische Funktion, setzen Sie Waagerechtentest, stellen Sie Definitionsmenge von f auf x ≥ 0 und ziehen Sie Punkt A, um Steigungen zu vergleichen. Zurücksetzen stellt die Startwerte her.
Einstellbare Parameter
- Ansicht Verkettung, Summe & Produkt, Umkehrung
- Typ von f Linear a·x + b, Quadratisch a·x² + b, Exponentiell a·eˣ + b, Wurzel a·√x + b, Kehrwert a/x + b
- Koeffizient a von f -5–5
- Koeffizient b von f -5–5
- Typ von g Linear a·x + b, Quadratisch a·x² + b, Exponentiell a·eˣ + b, Wurzel a·√x + b, Kehrwert a/x + b
- Koeffizient a von g -5–5
- Koeffizient b von g -5–5
- Wert x₀ (Punkt A in der Ansicht Umkehrung) -5–5
- Reihenfolge der Verkettung f∘g: f(g(x)), g∘f: g(f(x))
- Verknüpfung (Ansicht Summe & Produkt) f + g, f − g, f · g, f ÷ g
- Definitionsmenge von f einschränken (Ansicht Umkehrung) Ganze Definitionsmenge, x ≥ 0, x ≤ 0
- Waagerechtentest
- Waagerechte Gerade y = k -6–6
Fragen zum Erkunden
- Wie unterscheiden sich die Definitionsmengen von f∘g und g∘f für f(x) = √x und g(x) = x − 2?
- Warum hat y = x² auf ganz ℝ keine Umkehrfunktion, und wie hilft eine eingeschränkte Definitionsmenge?
- Wenn die Tangente an f in A die Steigung 2 hat, welche Steigung hat die Tangente an f⁻¹ im Spiegelpunkt?
