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Ajuste de modelos de funções – resíduos, R² e linearização

MatemáticaFunções e gráficosIdades 16–17

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Escolha um conjunto de dados de um contexto real (uma bebida esfriando, a concentração de um medicamento, a população mundial, o crescimento de levedura, uma bola lançada, as marés, a duração do dia, o pH, a terceira lei de Kepler, o custo de impressão) e ajuste um modelo linear, quadrático, exponencial, exponencial com assíntota, de potência, logarítmico, logístico ou senoidal por mínimos quadrados ou arrastando os parâmetros. Gráficos de resíduos, R² e uma tabela comparativa ajudam você a escolher o melhor modelo e testá-lo com dados novos; a tela Linearizar usa gráficos semilog e log–log.

Aula: Modelagem com funções: ajuste de modelos, resíduos, coeficiente de determinação R² e linearização

O que mostra

Cada modelo tem parâmetros que o método dos mínimos quadrados escolhe para que a soma dos quadrados dos resíduos SSres = Σ(y − ŷ)² seja a menor possível. R² = 1 − SSres/SStot mede quanto da variação de y o modelo explica, e o RMSE dá um erro típico nas unidades de y. Um modelo com mais parâmetros nunca tem R² menor, então julgue-o também pelo padrão dos resíduos, pelo significado dos parâmetros e pela qualidade das previsões para dados novos. Os modelos exponencial e de potência são ajustados diretamente a y; as calculadoras os ajustam por meio de ln y, o que dá valores um pouco diferentes.

Como usar

Escolha um Conjunto de dados e um Modelo. Com Mínimos quadrados os melhores parâmetros aparecem na hora; clique em Arrastar parâmetros e mova os controles deslizantes para chegar você mesmo ao menor SSres. Procure um padrão no Gráfico de resíduos, marque Dados novos para testar as previsões e clique em uma linha da tabela para trocar de modelo. Em Linearizar, mude os Eixos e use Subtrair c de y.

Parâmetros que você pode mudar

  • Tela Ajustar modelos, Linearizar
  • Conjunto de dados Bebida quente esfriando, Concentração de medicamento no sangue, População mundial 1950–2000, Crescimento de levedura, Bola lançada para cima, Altura da maré, Duração do dia ao longo do ano, pH de soluções de HCl, Períodos orbitais dos planetas, Custo de imprimir pôsteres, Seus próprios dados
  • Modelo Linear y = ax + b, Quadrático y = a(x − h)² + k, Exponencial y = a·bˣ, Exponencial com assíntota y = a·bˣ + c, Potência y = a·xᵇ, Logarítmico y = a + b·ln x, Logístico y = L/(1 + C·e⁻ᵏˣ), Senoidal y = a·sen(b(x − c)) + d
  • Parâmetros Mínimos quadrados, Arrastar parâmetros
  • Mostrar gráfico de resíduos
  • Mostrar dados novos para teste
  • Eixos (tela Linearizar) y em função de x, ln y em função de x (semilog), ln y em função de ln x (log–log)
  • Subtrair uma constante c de y (tela Linearizar) 0–50

Perguntas para explorar

  1. Por que uma reta se ajusta aos dados de resfriamento com R² alto embora seus resíduos mostrem um padrão claro?
  2. Vários modelos da população mundial têm R² acima de 0,99; qual prevê melhor 2005–2020 e por que um R² alto não basta?
  3. Qual gráfico transforma os dados dos planetas em uma reta e o que a inclinação diz sobre a terceira lei de Kepler?

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