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Grenzwerte von Folgen und Funktionen, Stetigkeit

MathematikFunktionen und GraphenAlter 16–17

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Modus Folge: Die Punkte (n, uₙ) nähern sich der Geraden y = L; ein verschiebbarer Streifen L ± ε zeigt, dass ab einem Index N₀ alle Glieder im Streifen bleiben. Modus Funktion: Ziehen Sie x von beiden Seiten gegen x₀, um zu sehen, wie sich f(x) dem links- und rechtsseitigen Grenzwert nähert, erkennen Sie eine Sprungstelle oder eine Definitionslücke bei x₀ und ziehen Sie einen Schluss über die Stetigkeit. Der Modus Verfahren löst unbestimmte Ausdrücke Schritt für Schritt: Faktorisieren oder Erweitern mit dem konjugierten Term beseitigt eine 0/0-Lücke, der Einschnürungssatz behandelt x² sin(1/x) und sin x / x, die Regel von L'Hospital 0/0 und ∞/∞, dazu Grenzwerte im Unendlichen, jeweils verknüpft mit Graph und Wertetabelle.

Lektion: Grenzwerte von Folgen, Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit

Was sie zeigt

Eine Folge uₙ hat den Grenzwert L, wenn für jeden noch so schmalen Streifen L ± ε alle Glieder ab einem Index N₀ darin liegen; (−1)ⁿ passt in keinen schmalen Streifen. Eine Funktion hat bei x₀ einen Grenzwert, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, und ist dort stetig, wenn dieser Grenzwert gleich f(x₀) ist. Der Modus Verfahren macht aus 0/0- und ∞/∞-Ausdrücken exakte Werte: Faktorisieren oder Erweitern mit dem konjugierten Term beseitigt eine Lücke, der Einschnürungssatz schließt x² sin(1/x) und sin x / x zwischen einfacheren Funktionen ein, die Regel von L'Hospital vergleicht f/g mit f′/g′, und Teilen durch die höchste Potenz liefert Grenzwerte im Unendlichen.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Folge eine Folge und ziehen Sie senkrecht im Diagramm, um ε zu verkleinern; sagen Sie voraus, wie sich N₀ ändert. Legen Sie unter Funktion x₀ fest, ziehen Sie den roten Punkt von beiden Seiten heran oder drücken Sie Starten, und vergleichen Sie die einseitigen Grenzwerte mit f(x₀). Wählen Sie unter Verfahren einen Fall und drücken Sie Nächster Schritt, um die Rechnung schrittweise aufzudecken, während Sie den roten Punkt ziehen und die Tabelle beobachten.

Einstellbare Parameter

  • Objekt Folge uₙ, Funktion f(x), Verfahren zur Grenzwertberechnung
  • Folge uₙ = 1/n, uₙ = (−1)ⁿ/n, uₙ = (2n + 1)/(n + 1), uₙ = (−1)ⁿ (kein Grenzwert)
  • ε (halbe Breite des Streifens um L) 0,02–0,5
  • Funktion f(x) = (x² − 1)/(x − 1), f(x) = sin x / x, f(x) = |x|/x, f(x) = x² (stetig)
  • Stelle x₀, an der der Grenzwert untersucht wird -3–3
  • Verfahren (Modus Verfahren) Faktorisieren: (x² − x − 6)/(x − 3), x → 3, Konjugiert erweitern: (√(x + 4) − 2)/x, x → 0, Einschnürung: x² sin(1/x), x → 0, Einschnürung: sin x / x, x → 0, L'Hospital 0/0: ln x / (x − 1), x → 1, L'Hospital ∞/∞: ln x / x, x → ∞, Im Unendlichen: (2x² − 3x + 1)/(x² + 4)

Fragen zum Erkunden

  1. Ab welchem Index N₀ liegen für ε = 0,1 alle Glieder von uₙ = 1/n im Streifen?
  2. Warum beseitigt das Erweitern mit √(x + 4) + 2 den Ausdruck 0/0 bei (√(x + 4) − 2)/x für x → 0?
  3. Welche der vier Funktionen sind bei x₀ = 0 stetig, und woran scheitern die anderen?

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