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Ajustement de modèles de fonctions – résidus, R² et linéarisation

MathématiquesFonctions et courbes16–17 ans

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Choisissez un jeu de données issu d'un contexte réel (une boisson qui refroidit, la concentration d'un médicament, la population mondiale, la croissance d'une levure, une balle lancée, les marées, la durée du jour, le pH, la troisième loi de Kepler, un coût d'impression) et ajustez un modèle affine, du second degré, exponentiel, exponentiel avec asymptote, puissance, logarithmique, logistique ou sinusoïdal par la méthode des moindres carrés ou en faisant glisser les paramètres. Les graphiques de résidus, R² et un tableau comparatif vous aident à choisir le meilleur modèle et à le tester sur de nouvelles données ; l'écran Linéariser utilise des graphiques semi-logarithmiques et log–log.

Leçon : Modélisation par des fonctions : ajustement de modèles, résidus, coefficient de détermination R² et linéarisation

Ce qu’elle montre

Chaque modèle a des paramètres que la méthode des moindres carrés choisit pour rendre la somme des carrés des résidus SSres = Σ(y − ŷ)² la plus petite possible. R² = 1 − SSres/SStot mesure la part de la variation de y expliquée par le modèle, et le RMSE donne une erreur typique dans l'unité de y. Un modèle avec plus de paramètres n'a jamais un R² plus petit : jugez-le donc aussi sur la forme des résidus, sur le sens des paramètres et sur la qualité de ses prévisions pour de nouvelles données. Les modèles exponentiel et puissance sont ajustés directement sur y ; les calculatrices passent par ln y, ce qui donne des valeurs un peu différentes.

Mode d’emploi

Choisissez un Jeu de données et un Modèle. Avec Moindres carrés, les meilleurs paramètres s'affichent aussitôt ; cliquez sur Paramètres à la main et déplacez les curseurs pour atteindre vous-même le plus petit SSres. Cherchez une tendance dans le Graphique des résidus, cochez Nouvelles données pour tester les prévisions et cliquez sur une ligne du tableau pour changer de modèle. Dans Linéariser, changez les Axes et utilisez Soustraire c de y.

Paramètres modifiables

  • Écran Ajuster des modèles, Linéariser
  • Jeu de données Boisson chaude qui refroidit, Concentration d'un médicament dans le sang, Population mondiale 1950–2000, Croissance d'une levure, Balle lancée vers le haut, Hauteur de la marée, Durée du jour au fil de l'année, pH de solutions de HCl, Périodes orbitales des planètes, Coût d'impression d'affiches, Vos propres données
  • Modèle Affine y = ax + b, Second degré y = a(x − h)² + k, Exponentiel y = a·bˣ, Exponentiel avec asymptote y = a·bˣ + c, Puissance y = a·xᵇ, Logarithmique y = a + b·ln x, Logistique y = L/(1 + C·e⁻ᵏˣ), Sinusoïdal y = a·sin(b(x − c)) + d
  • Paramètres Moindres carrés, Paramètres à la main
  • Afficher le graphique des résidus
  • Afficher de nouvelles données pour tester
  • Axes (écran Linéariser) y en fonction de x, ln y en fonction de x (semi-log), ln y en fonction de ln x (log–log)
  • Soustraire une constante c de y (écran Linéariser) 0–50

Questions à explorer

  1. Pourquoi une droite s'ajuste-t-elle aux données de refroidissement avec un R² élevé alors que ses résidus montrent une tendance nette ?
  2. Plusieurs modèles de la population mondiale ont un R² supérieur à 0,99 : lequel prévoit le mieux 2005–2020, et pourquoi un R² élevé ne suffit-il pas ?
  3. Quel graphique rend les données des planètes alignées, et que dit sa pente sur la troisième loi de Kepler ?

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