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Geradlinige Bewegung mit Analysis – Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Weg

MathematikAnalysisAlter 17–18

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Wählen Sie eine Ortsfunktion s(t), Geschwindigkeit v(t) oder Beschleunigung a(t) (Polynom, trigonometrisch oder exponentiell, auch mit veränderlicher Beschleunigung) und beobachten Sie einen Massenpunkt auf einer Geraden mit verknüpften s–t-, v–t- und a–t-Diagrammen. Die Diagramme hängen über Ableiten und Integrieren zusammen: Schattierte Flächen unter dem v–t-Graphen trennen die Verschiebung ∫v dt vom zurückgelegten Weg ∫|v| dt, und die Simulation zeigt, wann der Körper ruht, umkehrt, schneller oder langsamer wird.

Lektion: Kinematik mit Analysis: Geschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen, Verschiebung und Weg als Integrale

Was sie zeigt

Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Geraden. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Orts und die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit: v = ds/dt und a = dv/dt. Umgekehrt gilt s(t) = s(0) + ∫v dt und v(t) = v(0) + ∫a dt; deshalb braucht man Anfangsbedingungen, wenn v oder a gegeben ist. Die orientierte Fläche unter dem v–t-Graphen ist die Verschiebung, die Fläche unter |v| der gesamte Weg. Der Körper kehrt um, wo v das Vorzeichen wechselt, wird schneller, wenn v und a dasselbe Vorzeichen haben, und langsamer, wenn sie sich unterscheiden.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Gegeben Ort s(t), Geschwindigkeit v(t) oder Beschleunigung a(t), dann einen Funktionstyp, und stellen Sie p, q, r und c ein. Geben Sie s(0) und v(0) ein, wenn sie gebraucht werden. Drücken Sie Abspielen oder ziehen Sie über die Diagramme, um den Zeitcursor zu bewegen, und vergleichen Sie jede Tangentensteigung mit dem Diagramm darunter. Lesen Sie Verschiebung und Weg im Feld ab und probieren Sie ein Beispiel wie die Schwingung oder den senkrechten Wurf.

Einstellbare Parameter

  • Gegebene Funktion Ort s(t), Geschwindigkeit v(t), Beschleunigung a(t)
  • Funktionstyp Polynom p·t³ + q·t² + r·t + c, Trigonometrisch p·sin(q·t) + r·cos(q·t) + c, Exponentiell p·e^(q·t) + r·t + c
  • Koeffizient p -20–20
  • Koeffizient q -10–10
  • Koeffizient r -20–20
  • Koeffizient c -20–20
  • Anfangsort s(0) -20–20 m
  • Anfangsgeschwindigkeit v(0) -20–20 m/s
  • Zeitintervall T 1–20 s

Fragen zum Erkunden

  1. Wann kehrt der Körper bei s = t³ − 6t² + 9t um, und welchen Weg legt er in 5 s zurück?
  2. Warum kann die Verschiebung kleiner als der zurückgelegte Weg sein, und wann sind beide gleich?
  3. Wie ändern sich bei a = 6 − 2t der v–t-Graph und der Umkehrzeitpunkt, wenn v(0) größer wird?

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