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Rotationskörper – Scheiben, Ringe, Zylinderschalen und Querschnitte

MathematikAnalysisAlter 17–18

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Drehen Sie die Fläche zwischen y = f(x) und y = g(x) um die x-Achse, die y-Achse oder eine Gerade y = k bzw. x = k und erzeugen Sie so einen 3D-Rotationskörper. Der Körper wird in n Scheiben, Ringe oder Zylinderschalen zerlegt, deren Gesamtvolumen sich für wachsendes n V = π∫(R² − r²)dx nähert, mit einem Lösungsweg über Stammfunktionen. Ein Querschnittsmodus baut quadratische, halbkreisförmige und dreieckige Scheiben über einer Grundfläche auf.

Lektion: Anwendungen der Integralrechnung: Volumen von Rotationskörpern und von Körpern mit bekannten Querschnitten

Was sie zeigt

Eine ebene Fläche, begrenzt von y = f(x), y = g(x), x = a und x = b, rotiert um eine Achse und erzeugt einen Körper. Schnitte senkrecht zur Achse sind Scheiben oder Ringe mit dem Volumen π(R² − r²)Δx; Schnitte parallel zu einer senkrechten Achse sind Zylinderschalen mit dem Volumen 2πρhΔx. Mit wachsender Anzahl n nähert sich ihre Summe dem bestimmten Integral, das die Simulation exakt über Stammfunktionen berechnet und, wenn möglich, als Vielfaches von π angibt. Ein zweiter Modus stapelt quadratische, halbkreisförmige oder dreieckige Querschnitte über der Grundfläche.

So funktioniert es

Wählen Sie f(x), g(x) sowie die Grenzen a und b, dann die Rotationsachse und bei senkrechter Achse die Zerlegungsart. Drücken Sie Fläche um 360° drehen, um zu sehen, wie die Fläche den Körper überstreicht, und ziehen Sie Angezeigte Scheibe, um R, r und das Volumen einer Scheibe abzulesen. Erhöhen Sie n oder drücken Sie Start, um Sₙ gegen V streben zu sehen. Probieren Sie die Beispiele Vase, Schale, Kugel, Kegel und Ring oder wechseln Sie zu Bekannte Querschnitte.

Einstellbare Parameter

  • Modus Rotationskörper, Bekannte Querschnitte
  • Ansicht 3D, 2D (ebene Figur)
  • Kurve y = f(x) y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (Halbkreis), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (Vase), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Kurve y = g(x) y = 0 (x-Achse), y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (Halbkreis), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (Vase), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Untere Grenze a 0–4
  • Obere Grenze b 0–4
  • Rotationsachse x-Achse (y = 0), Gerade y = k, y-Achse (x = 0), Gerade x = k
  • Lage der Geraden k (y = k oder x = k) -2–5
  • Zerlegungsart bei senkrechter Achse Scheiben / Ringe (senkrecht zur Achse), Zylinderschalen (parallel zur Achse)
  • Form des Querschnitts Quadrat mit Seite s, Halbkreis mit Durchmesser s, Gleichseitiges Dreieck mit Seite s, Gleichschenklig-rechtwinklig, Kathete s
  • Anzahl der Scheiben n 1–100

Fragen zum Erkunden

  1. Welcher Kegel entsteht, wenn die Fläche unter y = x/2 auf [0, 4] um die x-Achse rotiert, und stimmt V mit ⅓πr²h überein?
  2. Warum muss man π∫r²dx abziehen, wenn die Fläche zwischen y = x/2 und y = x²/4 um die x-Achse rotiert?
  3. Liefern Zylinderschalen und waagerechte Ringe für die Schale dasselbe Volumen?

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