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Movimiento rectilíneo con cálculo – posición, velocidad, aceleración y distancia

MatemáticasCálculoEdades 17–18

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Elige una función de posición s(t), velocidad v(t) o aceleración a(t) (polinómica, trigonométrica o exponencial, incluida la aceleración variable) y observa una partícula que se mueve sobre una recta con las gráficas s–t, v–t y a–t enlazadas. Las gráficas se relacionan por derivación e integración: las áreas sombreadas bajo la gráfica v–t separan el desplazamiento ∫v dt de la distancia ∫|v| dt, y la simulación marca cuándo la partícula se detiene, cambia de sentido, acelera o frena.

Lección: Cinemática con cálculo: velocidad y aceleración como derivadas, desplazamiento y distancia como integrales

Qué muestra

Una partícula se mueve sobre una recta. La velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad: v = ds/dt y a = dv/dt. En sentido contrario, s(t) = s(0) + ∫v dt y v(t) = v(0) + ∫a dt, por eso hacen falta condiciones iniciales cuando se da v o a. El área con signo bajo la gráfica v–t es el desplazamiento, y el área bajo |v| es la distancia total. La partícula cambia de sentido donde v cambia de signo, acelera cuando v y a tienen el mismo signo y frena cuando lo tienen distinto.

Cómo usarla

En Dato, elige Posición s(t), Velocidad v(t) o Aceleración a(t), escoge un Tipo de función y ajusta p, q, r y c. Introduce s(0) y v(0) cuando se necesiten. Pulsa Reproducir o arrastra sobre las gráficas para mover el cursor de tiempo, y compara cada pendiente de la tangente con la gráfica de abajo. Lee el desplazamiento y la distancia en el panel y prueba un Ejemplo, como la oscilación o el lanzamiento vertical.

Parámetros que puedes cambiar

  • Función dada Posición s(t), Velocidad v(t), Aceleración a(t)
  • Tipo de función Polinómica p·t³ + q·t² + r·t + c, Trigonométrica p·sin(q·t) + r·cos(q·t) + c, Exponencial p·e^(q·t) + r·t + c
  • Coeficiente p -20–20
  • Coeficiente q -10–10
  • Coeficiente r -20–20
  • Coeficiente c -20–20
  • Posición inicial s(0) -20–20 m
  • Velocidad inicial v(0) -20–20 m/s
  • Intervalo de tiempo T 1–20 s

Preguntas para explorar

  1. ¿Para s = t³ − 6t² + 9t, cuándo cambia de sentido la partícula y qué distancia recorre en 5 s?
  2. ¿Por qué el desplazamiento puede ser menor que la distancia recorrida y cuándo son iguales?
  3. ¿Con a = 6 − 2t, cómo cambian la gráfica v–t y el instante de retroceso si aumenta v(0)?

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