Gleichungen und Ungleichungen grafisch lösen

Was sie zeigt

Die Lösungen von f(x) = g(x) sind die x-Koordinaten der Punkte, in denen sich die Graphen von y = f(x) und y = g(x) schneiden, und f(x) < g(x) gilt dort, wo der Graph von f unterhalb des Graphen von g liegt. Die Simulation bestimmt die Schnittpunkte numerisch (Vorzeichenwechsel, dann Intervallhalbierung) und löst daher auch Gleichungen wie 2^x = x + 1, die sich algebraisch nicht lösen lassen. Quadrieren oder Multiplizieren mit einem Nenner kann Scheinlösungen erzeugen; der Graph verwirft sie. Gesucht wird nur im sichtbaren Fenster.

So funktioniert es

Wählen Sie ein Paar unter Funktionenpaar oder geben Sie eigene f(x) und g(x) ein; g = waagerechte Gerade y = k setzt g(x) = k. Wählen Sie f = g, f < g, f ≤ g, f > g oder f ≥ g, bewegen Sie den Regler k oder ziehen Sie den orangen Graphen. Aktivieren Sie f(x) − g(x) zeichnen, Lösungen je k und Algebra-Probe; zoomen Sie mit − und +, kehren Sie mit Startfenster zurück und ziehen Sie den Hintergrund zum Verschieben.

Einstellbare Parameter

• Funktionenpaar zu Beginn Parabel und Gerade: x² − 2x − 3 und x + k, Kubische Funktion und waagerechte Gerade: x³ − 3x und k, Funktion 4. Grades und waagerechte Gerade: x⁴ − 4x² und k, Wurzel: √(x + 2) und x + k, Bruch: (x² − 1)/(x − 1) und k, Betrag: |2x − 3| und x + k, Exponentialfunktion: 2^x und x + k, Eigene Eingabe (verwendet f und g unten)
• Eigenes f(x) (z. B. x^3 - 2x)
• Eigenes g(x) (k als Parameter verwenden)
• Parameter k -10–10
• Lösen Gleichung f(x) = g(x), Ungleichung f(x) < g(x), Ungleichung f(x) ≤ g(x), Ungleichung f(x) > g(x), Ungleichung f(x) ≥ g(x)
• h(x) = f(x) − g(x) zeichnen
• Anzahl der Lösungen für jedes k anzeigen
• Lösungen des algebraischen Verfahrens prüfen

Fragen zum Erkunden

1. Für welche Werte von k hat x³ − 3x = k genau drei Lösungen?
2. Warum ist x ≈ −1,618 keine Lösung von √(x + 2) = x + 1, obwohl es die quadrierte Gleichung löst?
3. Warum hat (x² − 1)/(x − 1) = 2 keine Lösung, obwohl der Graph wie eine Gerade aussieht?