Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Ce qu’elle montre

Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points où les courbes de y = f(x) et y = g(x) se coupent, et f(x) < g(x) est vraie là où la courbe de f est en dessous de celle de g. La simulation trouve les intersections numériquement (changement de signe puis dichotomie) ; elle résout donc aussi des équations comme 2^x = x + 1 que l’algèbre ne sait pas résoudre. Élever au carré ou multiplier par un dénominateur peut ajouter des solutions parasites ; le graphique les rejette. Seule la fenêtre affichée est explorée.

Mode d’emploi

Choisissez un couple dans Couple de fonctions ou saisissez vos propres f(x) et g(x) ; g = droite horizontale y = k donne g(x) = k. Choisissez f = g, f < g, f ≤ g, f > g ou f ≥ g, puis déplacez le curseur k ou faites glisser la courbe orange. Cochez Tracer f(x) − g(x), Solutions selon k et Vérification algébrique ; utilisez − et + pour zoomer, Fenêtre initiale pour revenir, et faites glisser le fond pour vous déplacer.

Paramètres modifiables

• Couple de fonctions de départ Parabole et droite : x² − 2x − 3 et x + k, Cubique et droite horizontale : x³ − 3x et k, Polynôme de degré 4 et droite horizontale : x⁴ − 4x² et k, Racine : √(x + 2) et x + k, Quotient : (x² − 1)/(x − 1) et k, Valeur absolue : |2x − 3| et x + k, Exponentielle : 2^x et x + k, Personnalisé (utilise f et g ci-dessous)
• f(x) personnalisée (ex. x^3 - 2x)
• g(x) personnalisée (utilisez k comme paramètre)
• Paramètre k -10–10
• Résoudre Équation f(x) = g(x), Inéquation f(x) < g(x), Inéquation f(x) ≤ g(x), Inéquation f(x) > g(x), Inéquation f(x) ≥ g(x)
• Tracer h(x) = f(x) − g(x)
• Afficher le nombre de solutions pour chaque k
• Vérifier les solutions de la méthode algébrique

Questions à explorer

1. Pour quelles valeurs de k l’équation x³ − 3x = k a-t-elle exactement trois solutions ?
2. Pourquoi x ≈ −1,618 n’est-il pas solution de √(x + 2) = x + 1, alors qu’il résout l’équation élevée au carré ?
3. Pourquoi (x² − 1)/(x − 1) = 2 n’a-t-elle pas de solution, alors que la courbe ressemble à une droite ?