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Grundfunktionen – Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie, Asymptoten und abschnittsweise definierte Funktionen

MathematikFunktionen und GraphenAlter 15–16

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Erkunden Sie die Graphen und die exakten Eigenschaften der Grundfunktionen y = x, x², x³, √x, ∛x, |x|, 1/x, 1/x², xⁿ für beliebiges n = p/q (auch negative und gebrochene Exponenten), eˣ, ln x und der Gaußklammer-Funktion: Definitionsmenge, Wertemenge, Achsenschnittpunkte, Symmetrie, Asymptoten, Monotonie und Verhalten an den Rändern. Der Bildschirm Vergleichen überlagert Funktionsfamilien (auch x, x², x³ auf [0; 1]), der Bildschirm Abschnittsweise erlaubt Funktionen aus zwei oder drei Teilen und prüft die Stetigkeit an jeder Nahtstelle, und der Bildschirm Quiz lässt Graphen erkennen.

Lektion: Grundfunktionen und ihre Eigenschaften; abschnittsweise definierte Funktionen und Treppenfunktionen; gerade und ungerade Funktionen

Was sie zeigt

Fast alle Graphen, die später in Algebra und Analysis vorkommen, entstehen aus einem kleinen Katalog von Grundfunktionen. Diese Simulation zeigt die exakten Eigenschaften jeder Funktion – Definitionsmenge, Wertemenge, Achsenschnittpunkte, Symmetrie, Asymptoten, Monotonie und Verhalten an den Rändern – und markiert sie am Graphen. Potenzfunktionen xⁿ mit n = p/q folgen einfachen Regeln: Ein gerades q schließt negative x aus, ein negatives n schließt 0 aus, und ob p gerade ist, entscheidet über gerade oder ungerade. Bei abschnittsweise definierten Funktionen werden Wertemenge, Nullstellen und Monotonie numerisch im sichtbaren Ausschnitt bestimmt.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Bildschirm. In Galerie wählen Sie eine Funktion, ziehen P entlang der Kurve und aktivieren Punkt bei −x zeigen (Symmetrietest); für xⁿ stellen Sie p und q ein. In Vergleichen klicken Sie auf Potenzen, Wurzeln, Kehrwerte, eˣ und ln x oder Vergleich auf [0; 1] und ziehen die gestrichelte Linie. In Abschnittsweise wählen Sie ein Beispiel oder tippen f₁, f₂, f₃ und legen b₁, b₂ und den Teil jeder Nahtstelle fest. In Quiz wählen Sie die passende Funktion und dann Neuer Graph.

Einstellbare Parameter

  • Startbildschirm Galerie (Tabelle der Eigenschaften), Mehrere Funktionen vergleichen, Abschnittsweise definierte Funktionen, Graph erkennen
  • Startfunktion (Galerie) y = x (Identität), y = x² (Quadratfunktion), y = x³ (Kubikfunktion), y = √x (Quadratwurzel), y = ∛x (Kubikwurzel), y = |x| (Betragsfunktion), y = 1/x (Kehrwertfunktion), y = 1/x² (Kehrwert des Quadrats), y = xⁿ, n = p/q (Potenzfunktion), y = eˣ (Exponentialfunktion), y = ln x (natürlicher Logarithmus), y = ⌊x⌋ (Gaußklammer, Treppenfunktion)
  • Zähler p des Exponenten n = p/q (Potenzfunktion) -6–6
  • Nenner q des Exponenten n = p/q (Potenzfunktion) 1–6
  • Punkt bei −x zum Symmetrietest zeigen
  • Startfamilie (Vergleichen) Potenzen: x, x², x³, Wurzeln: x, √x, ∛x, Kehrwerte: 1/x, 1/x², eˣ, ln x und die Gerade y = x, x, x², x³ auf [0; 1] vergleichen
  • Startbeispiel (abschnittsweise) |x| in zwei Teilen, Treppenfunktion, Sprung, Lücke, Glatter Übergang

Fragen zum Erkunden

  1. Warum ist y = x^(2/3) für negative x definiert, y = x^(3/2) aber nicht?
  2. Auf welchem Intervall gilt x³ < x² < x, und warum kehrt sich die Reihenfolge für x > 1 um?
  3. Welcher Teil liefert bei einem Sprung einer Treppenfunktion den Wert an der Nahtstelle, und woran erkennen Sie das am Graphen?

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