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Fonctions de référence – ensemble de définition, image, parité, asymptotes et fonctions définies par morceaux

MathématiquesFonctions et courbes15–16 ans

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Explorez les courbes et les propriétés exactes des fonctions de référence y = x, x², x³, √x, ∛x, |x|, 1/x, 1/x², xⁿ pour tout n = p/q (exposants négatifs et fractionnaires compris), eˣ, ln x et la fonction partie entière : ensemble de définition, image, intersections avec les axes, parité, asymptotes, variations et limites aux bornes. L’écran Comparer superpose des familles de fonctions (dont x, x², x³ sur [0 ; 1]), l’écran Par morceaux permet de définir des fonctions à deux ou trois morceaux et étudie la continuité à chaque raccord, et l’écran Quiz propose de reconnaître des courbes.

Leçon : Fonctions de référence et leurs propriétés ; fonctions définies par morceaux et fonctions en escalier ; fonctions paires et impaires

Ce qu’elle montre

La plupart des courbes rencontrées ensuite en algèbre et en analyse se construisent à partir d’un petit catalogue de fonctions de référence. Cette simulation donne les propriétés exactes de chacune – ensemble de définition, image, intersections avec les axes, parité, asymptotes, variations et limites aux bornes – et les repère sur la courbe. Les puissances xⁿ avec n = p/q suivent des règles simples : un q pair exclut les x négatifs, un n négatif exclut 0 et la parité de p décide entre paire et impaire. Pour les fonctions par morceaux, l’image, les intersections et les variations sont calculées numériquement dans la fenêtre visible.

Mode d’emploi

Choisissez un écran. Dans Galerie, sélectionnez une Fonction, faites glisser P sur la courbe et cochez Afficher le point en −x (test de parité) ; pour xⁿ, réglez p et q. Dans Comparer, cliquez sur Puissances, Racines, Inverses, eˣ et ln x ou Comparer sur [0 ; 1] et faites glisser la ligne pointillée. Dans Par morceaux, choisissez un Exemple ou saisissez f₁, f₂, f₃, puis réglez b₁, b₂ et le morceau de chaque raccord. Dans Quiz, choisissez la bonne fonction puis Autre courbe.

Paramètres modifiables

  • Écran de départ Galerie (tableau des propriétés), Comparer plusieurs fonctions, Fonctions définies par morceaux, Reconnaître la courbe
  • Fonction de départ (Galerie) y = x (identité), y = x² (carré), y = x³ (cube), y = √x (racine carrée), y = ∛x (racine cubique), y = |x| (valeur absolue), y = 1/x (inverse), y = 1/x² (inverse du carré), y = xⁿ, n = p/q (fonction puissance), y = eˣ (exponentielle), y = ln x (logarithme népérien), y = ⌊x⌋ (partie entière, escalier)
  • Numérateur p de l’exposant n = p/q (fonction puissance) -6–6
  • Dénominateur q de l’exposant n = p/q (fonction puissance) 1–6
  • Afficher le point en −x pour tester la parité
  • Famille de départ (Comparer) Puissances : x, x², x³, Racines : x, √x, ∛x, Inverses : 1/x, 1/x², eˣ, ln x et la droite y = x, Comparer x, x², x³ sur [0 ; 1]
  • Exemple de départ par morceaux |x| en deux morceaux, Fonction en escalier, Saut, Trou, Raccord lisse

Questions à explorer

  1. Pourquoi y = x^(2/3) est-elle définie pour x négatif alors que y = x^(3/2) ne l’est pas ?
  2. Sur quel intervalle a-t-on x³ < x² < x, et pourquoi l’ordre s’inverse-t-il pour x > 1 ?
  3. Lors d’un saut d’une fonction en escalier, quel morceau donne la valeur au raccord, et comment le voit-on sur la courbe ?

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