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Funções elementares – domínio, imagem, simetria, assíntotas e funções definidas por partes

MatemáticaFunções e gráficosIdades 15–16

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Explore os gráficos e as propriedades exatas das funções elementares y = x, x², x³, √x, ∛x, |x|, 1/x, 1/x², xⁿ com qualquer n = p/q (incluindo expoentes negativos e fracionários), eˣ, ln x e a função piso: domínio, imagem, interseções com os eixos, paridade, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento e comportamento nos extremos. A tela Comparar sobrepõe famílias de funções (inclusive x, x², x³ em [0; 1]), a tela Por partes permite definir funções com duas ou três partes e analisa a continuidade em cada junção, e a tela Desafio pede para reconhecer gráficos.

Aula: Funções elementares e suas propriedades; funções definidas por partes e funções escada; funções pares e ímpares

O que mostra

Quase todos os gráficos que aparecem depois em álgebra e cálculo são construídos a partir de um pequeno catálogo de funções elementares. Esta simulação mostra as propriedades exatas de cada uma – domínio, imagem, interseções, simetria, assíntotas, crescimento e comportamento nos extremos – e as marca no gráfico. As potências xⁿ com n = p/q seguem regras simples: um q par exclui os x negativos, um n negativo exclui o 0 e a paridade de p decide entre par e ímpar. Nas funções definidas por partes, a imagem, as interseções e o crescimento são calculados numericamente na janela visível.

Como usar

Escolha uma tela. Em Galeria, escolha uma Função, arraste P pela curva e marque Mostrar o ponto em −x (teste de simetria); para xⁿ ajuste p e q. Em Comparar, clique em Potências, Raízes, Recíprocas, eˣ e ln x ou Comparar em [0; 1] e arraste a linha tracejada. Em Por partes, escolha um Exemplo ou digite f₁, f₂, f₃ e defina b₁, b₂ e a parte de cada junção. Em Desafio, escolha a função certa e clique em Outro gráfico.

Parâmetros que você pode mudar

  • Tela inicial Galeria (tabela de propriedades), Comparar várias funções, Funções definidas por partes, Desafio: reconheça o gráfico
  • Função inicial (Galeria) y = x (identidade), y = x² (quadrática), y = x³ (cúbica), y = √x (raiz quadrada), y = ∛x (raiz cúbica), y = |x| (módulo), y = 1/x (recíproca), y = 1/x² (recíproca do quadrado), y = xⁿ, n = p/q (função potência), y = eˣ (exponencial), y = ln x (logaritmo natural), y = ⌊x⌋ (piso, função escada)
  • Numerador p do expoente n = p/q (função potência) -6–6
  • Denominador q do expoente n = p/q (função potência) 1–6
  • Mostrar o ponto em −x para testar a simetria
  • Família inicial (Comparar) Potências: x, x², x³, Raízes: x, √x, ∛x, Recíprocas: 1/x, 1/x², eˣ, ln x e a reta y = x, Comparar x, x², x³ em [0; 1]
  • Exemplo inicial por partes |x| em duas partes, Função escada, Salto, Buraco, Junção suave

Perguntas para explorar

  1. Por que y = x^(2/3) está definida para x negativo e y = x^(3/2) não está?
  2. Em que intervalo vale x³ < x² < x e por que a ordem se inverte quando x > 1?
  3. Num salto de uma função escada, qual parte dá o valor na junção e como você percebe isso no gráfico?

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