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Konfidenzintervalle – wiederholte Stichproben, Konfidenzniveau und Fehlerspanne

MathematikStatistikAlter 17–18

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Ziehen Sie Hunderte Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit mit bekanntem Parameter und sehen Sie, ob jedes Konfidenzintervall p̂ ± z*·√(p̂(1 − p̂)/n), x̄ ± t*·s/√n oder x̄ ± z*·σ/√n den wahren Wert überdeckt. Die Überdeckungsrate ändert sich mit dem Konfidenzniveau und dem Stichprobenumfang; es gibt auch ein Intervall für die Differenz zweier Anteile. Der Bildschirm Fehlerspanne zeigt die kritischen Werte z* und t*, die Fehlerspanne in Abhängigkeit von n und den nötigen Stichprobenumfang.

Lektion: Konfidenzintervalle für einen Anteil und einen Mittelwert

Was sie zeigt

Ein Konfidenzintervall schätzt einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit als Schätzwert ± Fehlerspanne; die Fehlerspanne ist ein kritischer Wert mal dem Standardfehler. Hier ist die Grundgesamtheit simuliert, daher sind der wahre Anteil oder Mittelwert bekannt und jedes Intervall lässt sich prüfen. Über viele Stichproben überdecken etwa C % der Intervalle den Parameter: Das Konfidenzniveau beschreibt das Verfahren, nicht ein einzelnes Intervall. Für einen Anteil wird die Normalapproximation verwendet (Wald-Intervall), für einen Mittelwert bei unbekanntem σ t* mit n − 1 Freiheitsgraden.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Schätzen die Größe und stellen Sie die Grundgesamtheit und den Stichprobenumfang n ein. Drücken Sie 1 Stichprobe, +20 Stichproben, +100 Stichproben oder Start und beobachten Sie, wie die Intervalle grün (Treffer) oder rot (verfehlt) werden. Verschieben Sie Konfidenzniveau C, um dieselben Stichproben neu zu berechnen, klicken Sie ein Intervall an, um die Rechnung zu sehen, und entfernen Sie das Häkchen bei Wahren Parameter zeigen. Unter Fehlerspanne ziehen Sie die rote Linie oder n und setzen die Ziel-Fehlerspanne E.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Wiederholte Stichproben, Fehlerspanne und Stichprobenumfang
  • Zu schätzender Parameter Anteil p, Mittelwert μ, Differenz der Anteile p₁ − p₂
  • Intervall für einen Mittelwert t*·s/√n (σ unbekannt), z*·σ/√n (σ bekannt), z*·s/√n (falsch bei kleinem n)
  • Form der Grundgesamtheit Normal, Rechtsschief, Gleichverteilt
  • Anteil in der Grundgesamtheit p (oder p₁) 0,01–0,99
  • Anteil in der Grundgesamtheit p₂ 0,01–0,99
  • Mittelwert der Grundgesamtheit μ -1000–1000
  • Standardabweichung der Grundgesamtheit σ 0,1–1000
  • Stichprobenumfang n (je Gruppe) 2–1000
  • Konfidenzniveau C 50–99,9 %
  • Wahren Parameter zeigen
  • Ziel-Fehlerspanne E (Anteil) 0,005–0,5
  • Ziel-Fehlerspanne E (Mittelwert) 0,01–1000
  • Zufallsstartwert (gleiche Zahl, gleiche Stichproben) 1–999

Fragen zum Erkunden

  1. Warum verfehlen etwa 5 von 100 Intervallen zum Niveau 95 % den wahren Wert?
  2. Was passiert mit der Breite der Intervalle, wenn Sie den Stichprobenumfang vervierfachen?
  3. Warum überdeckt z* statt t* bei kleinen Stichproben den Mittelwert seltener?

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