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Kreisumfang und Kreisfläche – Rad abrollen, Sektoren umlegen

MathematikEbene GeometrieAlter 14–15

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Rollen Sie ein Rad an einem Lineal ab, um seinen Umfang zu messen, notieren Sie Ergebnisse für mehrere Radien und tragen Sie C über d auf, um π zu entdecken. Zerlegen Sie den Kreis in n Sektoren und legen Sie sie zu einer fast rechteckigen Figur πr × r um, um A = πr² herzuleiten. Berechnen Sie Bogenlänge und Sektorfläche aus dem Winkel θ sowie Fläche und Umfang zusammengesetzter Figuren mit Halbkreisen und Kreisringen.

Lektion: Kreisumfang und Kreisfläche; Bogenlänge, Fläche von Kreisausschnitt und Kreisring; zusammengesetzte Figuren

Was sie zeigt

Ein Rad, das ohne Rutschen abrollt, legt bei einer Umdrehung genau einen Umfang zurück, daher misst die Strecke auf dem Lineal C. Notiert man C für mehrere Durchmesser, liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung π, also C = πd = 2πr. Zerlegt man den Kreis in n gleiche Sektoren und legt sie abwechselnd nach oben und unten, nähert sich die Grundseite dem halben Umfang πr und die Höhe dem Radius r, also A = πr². Ein Sektor mit dem Winkel θ ist θ/360 des Kreises. Zusammengesetzte Figuren verbinden diese Ergebnisse mit Rechtecken, Dreiecken und Quadraten.

So funktioniert es

Wählen Sie einen Reiter. Unter Abrollen und C messen klicken Sie auf Eine Umdrehung oder ziehen das Rad, dann auf Notieren; ändern Sie Radius r und wiederholen Sie, um Tabelle und Graph zu füllen. Unter Zerlegen und umlegen klicken Sie auf die Schaltfläche oder ziehen Fortschritt und erhöhen Anzahl der Sektoren n. Unter Bögen und Sektoren ziehen Sie Punkt B oder stellen Mittelpunktswinkel θ ein. Unter Zusammengesetzte Figuren wählen Sie eine Figur und ändern r und Länge a.

Einstellbare Parameter

  • Modus Rad abrollen und Umfang messen, Zerlegen und umlegen, um die Fläche zu finden, Bögen und Sektoren, Zusammengesetzte Figuren
  • Radius r 1–6 cm
  • Anzahl der Sektoren n 4–48
  • Mittelpunktswinkel θ 5–360 °
  • Zusammengesetzte Figur Fenster (Rechteck + Halbkreis), Laufbahn (Rechteck + zwei Halbkreise), Kreisring, Eistüte (Dreieck + Halbkreis), Quadrat ohne Viertelkreis
  • Länge a 1–8 cm

Fragen zum Erkunden

  1. Warum bleibt das Verhältnis C : d für jedes Rad gleich, das Sie abrollen?
  2. Welchen Längen nähern sich Grundseite und Höhe der umgelegten Figur, wenn n wächst?
  3. Welcher Anteil des Kreises ist ein Sektor mit 45°, und wie lang ist sein Bogen?

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