Kreis – Sehnen und Tangenten
MathematikEbene GeometrieAlter 14–15
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Als Nächstes in Ebene Geometrie
Kreis (O; R) mit einer Sehne AB und einem äußeren Punkt M. Ziehen Sie den Sehnenmittelpunkt H, um den Abstand OH zu ändern, und sehen Sie, dass OH ⟂ AB und AB = 2√(R² − OH²); ziehen Sie M, um zu sehen, dass die beiden Tangentenabschnitte MT₁ und MT₂ gleich lang sind und OT ⟂ MT gilt; ziehen Sie den Punkt auf dem Kreis, um den Radius zu ändern. Liegt M im Kreis, gibt es keine Tangente.
Lektion: Durchmesser und Sehne; Tangenten an einen Kreis; zwei Tangenten von einem äußeren Punkt
Was sie zeigt
Am Kreis (O; R) lassen sich mehrere Kreissätze gemeinsam untersuchen. Das Lot vom Mittelpunkt auf eine Sehne AB halbiert diese im Punkt H, daher gilt nach Pythagoras AB = 2√(R² − OH²): Je näher eine Sehne am Mittelpunkt liegt, desto länger ist sie, und für OH = 0 ist sie ein Durchmesser. Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius. Von einem äußeren Punkt M gehen genau zwei Tangenten MT₁ und MT₂ aus; sie sind gleich lang, nämlich √(OM² − R²), und MO halbiert den Winkel T₁MT₂. Durch einen Punkt auf dem Kreis geht eine Tangente, durch einen inneren Punkt keine.
So funktioniert es
Stellen Sie Radius R und Abstand Mittelpunkt–Sehne OH ein oder ziehen Sie H, und vergleichen Sie die angezeigte Länge von AB mit einer Vorhersage nach Pythagoras. Schieben Sie H in den Mittelpunkt, um einen Durchmesser zu erhalten. Ziehen Sie bei aktivierter Option Tangenten von M zeigen den Punkt M zum Kreis hin und beobachten Sie, wie MT kürzer wird; setzen Sie M dann auf den Kreis und ins Innere. Ziehen Sie K, um den Radius zu ändern, und beobachten Sie beide Ergebnisse.
Einstellbare Parameter
- Radius R 2–8 cm
- Abstand Mittelpunkt–Sehne OH 0–7,5 cm
- Tangenten von M zeigen
- Durchmesser senkrecht zur Sehne zeigen
Fragen zum Erkunden
- Wie lang ist die Sehne AB für R = 5 cm und OH = 3 cm?
- Warum sind die beiden Tangenten von einem äußeren Punkt M immer gleich lang?
- Wie viele Tangenten gehen durch einen Punkt auf dem Kreis, und wie viele durch einen inneren Punkt?
