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Satz des Pythagoras – Quadrate über den Seiten, Beweise und Anwendungen

MathematikEbene GeometrieAlter 13–14

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Ziehen Sie die Ecken eines Dreiecks auf einem Gitter und vergleichen Sie die Flächen der Quadrate über den drei Seiten: a² + b² = c² gilt nur, wenn der Winkel bei C ein rechter Winkel ist; a² + b² > c² bei spitzem und a² + b² < c² bei stumpfem Winkel C (Umkehrung). Zwei animierte Beweise: durch Umlegen (vier rechtwinklige Dreiecke in einem Quadrat mit Seite a + b) und mit ähnlichen Dreiecken (Höhe auf die Hypotenuse). Anwendungsseiten berechnen eine fehlende Seite mit Übungsaufgaben, den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem und die Raumdiagonale eines Quaders, d = √(l² + w² + h²), in einer drehbaren 3D-Ansicht.

Lektion: Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

Was sie zeigt

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse so groß wie die Quadrate über den beiden Katheten zusammen: c² = a² + b². Auch die Umkehrung gilt: Ist a² + b² = c², so ist der Winkel gegenüber c ein rechter Winkel. Ist a² + b² größer als c², ist dieser Winkel spitz, ist es kleiner, ist er stumpf. Den Satz kann man beweisen, indem man vier gleiche Dreiecke in einem Quadrat umlegt, oder mit den ähnlichen Dreiecken, die die Höhe auf die Hypotenuse erzeugt. Er liefert den Abstand zweier Punkte, d = √(Δx² + Δy²), und die Raumdiagonale eines Quaders, d = √(l² + w² + h²).

So funktioniert es

Ziehen Sie unter Erkunden die Punkte A, B und C oder wählen Sie eine Vorlage wie 3–4–5, Winkel C spitz oder Winkel C stumpf; mit Einrasten sind die Flächen exakte ganze Zahlen. Wählen Sie unter Beweise den Beweis und klicken Sie auf Abspielen oder ziehen Sie Fortschritt. Wählen Sie unter Seite berechnen, was Gesucht ist, und üben Sie mit Neue Aufgabe. Ziehen Sie unter Abstand P und Q. Stellen Sie unter Quader l, w und h ein und drehen Sie das Bild durch Ziehen.

Einstellbare Parameter

  • Ansicht Erkunden, Beweise, Seite berechnen, Abstand, Quader
  • Ecken am Gitter einrasten (Erkunden)
  • Beweis Umlegen, Ähnliche Dreiecke
  • Kathete a (Beweise, Seite berechnen) 1–15 cm
  • Kathete b (Beweise, Seite berechnen) 1–15 cm
  • Gesuchte Seite (Seite berechnen) Hypotenuse, Kathete
  • Länge l (Quader) 1–12 cm
  • Breite w (Quader) 1–12 cm
  • Höhe h (Quader) 1–12 cm

Fragen zum Erkunden

  1. Warum füllen die beiden kleinen Quadrate das große Quadrat nur dann genau aus, wenn der Winkel bei C 90° beträgt?
  2. Wie können Sie mit a² + b² und c² entscheiden, ob ein Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist?
  3. Warum braucht man den Satz des Pythagoras zweimal, um die Raumdiagonale eines Quaders zu berechnen?

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