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Périmètre et aire du disque – faire rouler une roue, réarranger des secteurs

MathématiquesGéométrie plane14–15 ans

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Faites rouler une roue le long d'une règle pour mesurer la longueur du cercle, notez les résultats pour plusieurs rayons et tracez C en fonction de d pour découvrir π. Découpez le disque en n secteurs et réarrangez-les en une figure presque rectangulaire πr × r pour obtenir A = πr². Calculez la longueur d'un arc et l'aire d'un secteur à partir de l'angle θ, ainsi que l'aire et le périmètre de figures composées avec des demi-disques et des couronnes.

Leçon : Périmètre du cercle et aire du disque ; longueur d'arc, aire d'un secteur et d'une couronne ; figures composées

Ce qu’elle montre

Une roue qui roule sans glisser parcourt exactement la longueur de son cercle à chaque tour : la distance lue sur la règle mesure donc C. En notant C pour plusieurs diamètres, on obtient des points alignés sur une droite passant par l'origine, de coefficient directeur π, d'où C = πd = 2πr. En découpant le disque en n secteurs égaux placés alternativement vers le haut et vers le bas, la base tend vers la moitié du périmètre, πr, et la hauteur vers r, d'où A = πr². Un secteur d'angle θ représente θ/360 du disque. Les figures composées associent ces résultats à des rectangles, des triangles et des carrés.

Mode d’emploi

Choisissez un onglet. Dans Rouler pour mesurer C, cliquez sur Faire un tour ou faites glisser la roue, puis sur Noter ; changez Rayon r et recommencez pour remplir le tableau et le graphique. Dans Découper et réarranger, cliquez sur le bouton ou faites glisser Progression, et augmentez Nombre de secteurs n. Dans Arcs et secteurs, déplacez le point B ou réglez Angle au centre θ. Dans Figures composées, choisissez une Figure et modifiez r et Longueur a.

Paramètres modifiables

  • Mode Faire rouler une roue pour mesurer le périmètre, Découper et réarranger pour trouver l'aire, Arcs et secteurs, Figures composées
  • Rayon r 1–6 cm
  • Nombre de secteurs n 4–48
  • Angle au centre θ 5–360 °
  • Figure composée Fenêtre (rectangle + demi-disque), Piste d'athlétisme (rectangle + deux demi-disques), Couronne, Cornet de glace (triangle + demi-disque), Carré privé d'un quart de disque
  • Longueur a 1–8 cm

Questions à explorer

  1. Pourquoi le rapport C : d reste-t-il le même pour toutes les roues que vous faites rouler ?
  2. Quand n augmente, de quelles longueurs se rapprochent la base et la hauteur de la figure réarrangée ?
  3. Quelle fraction du disque représente un secteur de 45°, et quelle est la longueur de son arc ?

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