Markow-Ketten und Übergangsmatrizen – stationäre Verteilung und Wege mit der Adjazenzmatrix
MathematikWahrscheinlichkeitAlter 17–18
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Zum Starten anmeldenErstellen Sie einen Übergangsgraphen (Umzüge zwischen Regionen, Marktanteile, Wetter, ein Kurs mit absorbierenden Zuständen) und die passende Übergangsmatrix, wahlweise spalten- oder zeilenweise. Multiplizieren Sie den Zustandsvektor Schritt für Schritt mit sₙ₊₁ = T·sₙ, verfolgen Sie im Diagramm die Annäherung an die stationäre Verteilung, lösen Sie Ts = s und betrachten Sie die Potenzen Tⁿ. Der Bildschirm Adjazenzmatrix zählt Wege der Länge n zwischen zwei Knoten mit Aⁿ und erstellt die Übergangsmatrix einer Irrfahrt auf dem Graphen.
Lektion: Markow-Ketten: Übergangsmatrizen, Zustandsvektoren, stationäre Verteilung und absorbierende Zustände; Adjazenzmatrizen und Wege der Länge n
Was sie zeigt
Eine Markow-Kette wechselt schrittweise zwischen Zuständen, und der nächste Zustand hängt nur vom aktuellen ab. Die Übergangsmatrix enthält die bedingten Wahrscheinlichkeiten aller Übergänge: Spaltenweise hat jede Spalte die Summe 1 und es gilt sₙ₊₁ = T·sₙ; zeilenweise nutzt man P = Tᵀ mit Zeilensumme 1 und sₙ₊₁ = sₙ·P. Die stationäre Verteilung löst Ts = s mit Komponentensumme 1; eine reguläre Kette nähert sich ihr von jedem Start aus, ein absorbierender Zustand wird nie mehr verlassen. Ein zweiter Bildschirm zählt Wege in einem Graphen mit Potenzen der Adjazenzmatrix. Die Szenarien sind vereinfachte Modelle mit Beispielwerten.
So funktioniert es
Wählen Sie ein Szenario und eine Konvention. Tippen Sie Wahrscheinlichkeiten in die Matrix oder tippen Sie auf eine Wahrscheinlichkeit im Diagramm und ziehen Sie den Schieberegler; das Diagonalelement passt sich an. Legen Sie s₀ fest und drücken Sie Schritt oder Start. Mit Matrixpotenzen zeigen sehen Sie Tⁿ. Unter Adjazenzmatrix wählen Sie Von, Nach und Länge n, tippen zwei Knoten an, um eine Kante zu setzen oder zu löschen, und drücken Wege abspielen.
Einstellbare Parameter
- Bildschirm Markow-Kette, Adjazenzmatrix und Wege
- Szenario Wetter (2 Zustände), Marktanteile dreier Marken, Bevölkerung dreier Regionen, Kurs (absorbierende Zustände)
- Matrixkonvention Spaltenweise (s ist Spaltenvektor, sₙ₊₁ = T·sₙ), Zeilenweise (s ist Zeilenvektor, sₙ₊₁ = sₙ·P)
- Schritte im Diagramm 5–50 Schritte
- Potenzen der Übergangsmatrix zeigen
- Graph (Bildschirm Adjazenzmatrix) Drachenviereck (4 Knoten), Quadrat – Kreis mit 4 Knoten, Haus (5 Knoten), Gerichteter Graph (4 Knoten)
- Weglänge n 1–8 Kanten
Fragen zum Erkunden
- Hängt die langfristige Bevölkerung jeder Region davon ab, wie viele Menschen anfangs dort leben?
- Welcher Anteil der Kursteilnehmenden besteht im Kursszenario schließlich, und wie ließe er sich erhöhen?
- Warum kommt eine Irrfahrt auf dem Quadrat nie zur Ruhe, auf dem Drachenviereck aber schon?
