Cadeias de Markov e matrizes de transição – estado estacionário e passeios com a matriz de adjacência
MatemáticaProbabilidadeIdades 17–18
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Entre para usarMonte um diagrama de estados (pessoas que se mudam entre regiões, participação de mercado, o tempo, um curso com estados absorventes) e a matriz de transição correspondente, na convenção por colunas ou por linhas. Multiplique o vetor de estado passo a passo com sₙ₊₁ = T·sₙ, veja no gráfico a convergência para o estado estacionário, resolva Ts = s e examine as potências Tⁿ. A tela Matriz de adjacência conta os passeios de comprimento n entre dois vértices com Aⁿ e monta a matriz de transição de um passeio aleatório no grafo.
Aula: Cadeias de Markov: matrizes de transição, vetores de estado, estado estacionário e estados absorventes; matrizes de adjacência e passeios de comprimento n
O que mostra
Uma cadeia de Markov passa de um estado a outro em passos, e o próximo estado depende só do atual. A matriz de transição reúne as probabilidades condicionais de cada passagem: por colunas, cada coluna soma 1 e sₙ₊₁ = T·sₙ; por linhas usa-se P = Tᵀ, cada linha soma 1 e sₙ₊₁ = sₙ·P. O estado estacionário resolve Ts = s com componentes somando 1; uma cadeia regular se aproxima dele a partir de qualquer início, e um estado absorvente retém tudo o que entra. Uma segunda tela conta passeios em um grafo com potências da matriz de adjacência. Os cenários são modelos simplificados com dados ilustrativos.
Como usar
Escolha um Cenário e uma convenção. Digite probabilidades na matriz ou toque em uma probabilidade do diagrama e arraste o controle deslizante; o elemento da diagonal se ajusta sozinho. Defina s₀ e aperte Passo ou Reproduzir. Marque Mostrar potências para ver Tⁿ. Em Matriz de adjacência, escolha De, Para e Comprimento n, toque em dois vértices para incluir ou remover uma aresta e aperte Ver passeios.
Parâmetros que você pode mudar
- Tela Cadeia de Markov, Matriz de adjacência e passeios
- Cenário Tempo (2 estados), Participação de mercado de três marcas, População de três regiões, Curso (estados absorventes)
- Convenção da matriz Por colunas (s é vetor coluna, sₙ₊₁ = T·sₙ), Por linhas (s é vetor linha, sₙ₊₁ = sₙ·P)
- Passos no gráfico 5–50 passos
- Mostrar as potências da matriz de transição
- Grafo (tela Matriz de adjacência) Pipa (4 vértices), Quadrado – ciclo de 4 vértices, Casa (5 vértices), Grafo orientado (4 vértices)
- Comprimento do passeio n 1–8 arestas
Perguntas para explorar
- A população de longo prazo de cada região depende de quantas pessoas começam em cada uma?
- No cenário do curso, que fração dos estudantes acaba aprovada, e como você poderia aumentá-la?
- Por que um passeio aleatório no quadrado nunca se estabiliza, enquanto na pipa ele se estabiliza?
