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Chaînes de Markov et matrices de transition – état stable et chemins avec la matrice d'adjacence

MathématiquesProbabilités17–18 ans

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Construisez un graphe probabiliste (personnes qui changent de région, parts de marché, météo, une formation avec états absorbants) et la matrice de transition associée, en convention colonnes ou lignes. Multipliez le vecteur d'état pas à pas avec sₙ₊₁ = T·sₙ, suivez sur le graphique la convergence vers l'état stable, résolvez Ts = s et observez les puissances Tⁿ. L'écran Matrice d'adjacence compte les chemins de longueur n entre deux sommets avec Aⁿ et construit la matrice de transition d'une marche aléatoire sur le graphe.

Leçon : Chaînes de Markov : matrices de transition, vecteurs d'état, état stable et états absorbants ; matrices d'adjacence et chemins de longueur n

Ce qu’elle montre

Une chaîne de Markov passe d'un état à l'autre par étapes, et l'état suivant ne dépend que de l'état actuel. La matrice de transition regroupe les probabilités conditionnelles : en convention colonnes, chaque colonne a pour somme 1 et sₙ₊₁ = T·sₙ ; en convention lignes, P = Tᵀ et sₙ₊₁ = sₙ·P. L'état stable résout Ts = s avec des composantes de somme 1 ; une chaîne régulière s'en approche depuis tout départ, et un état absorbant garde ce qui y entre. Un second écran compte les chemins d'un graphe avec les puissances de sa matrice d'adjacence. Les scénarios sont des modèles simplifiés aux données illustratives.

Mode d’emploi

Choisissez un Scénario et une convention. Tapez des probabilités dans la matrice ou touchez une probabilité du graphe et déplacez le curseur ; le coefficient diagonal s'ajuste seul. Fixez s₀, puis appuyez sur Étape ou Lecture. Cochez Afficher les puissances pour voir Tⁿ. Sur Matrice d'adjacence, choisissez De, Vers et Longueur n, touchez deux sommets pour ajouter ou retirer une arête, puis appuyez sur Lire les chemins.

Paramètres modifiables

  • Écran Chaîne de Markov, Matrice d'adjacence et chemins
  • Scénario Météo (2 états), Parts de marché de trois marques, Population de trois régions, Formation (états absorbants)
  • Convention de la matrice Colonnes (s vecteur colonne, sₙ₊₁ = T·sₙ), Lignes (s vecteur ligne, sₙ₊₁ = sₙ·P)
  • Étapes sur le graphique 5–50 étapes
  • Afficher les puissances de la matrice de transition
  • Graphe (écran Matrice d'adjacence) Cerf-volant (4 sommets), Carré – cycle à 4 sommets, Maison (5 sommets), Graphe orienté (4 sommets)
  • Longueur du chemin n 1–8 arêtes

Questions à explorer

  1. La population à long terme de chaque région dépend-elle du nombre de personnes qui y vivent au départ ?
  2. Dans le scénario de la formation, quelle part des inscrits finit par réussir, et comment l'augmenter ?
  3. Pourquoi une marche aléatoire sur le carré ne se stabilise-t-elle jamais, alors que sur le cerf-volant oui ?

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