Cadenas de Markov y matrices de transición – estado estacionario y caminos con la matriz de adyacencia
MatemáticasProbabilidadEdades 17–18
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Inicia sesión para usarConstruye un diagrama de estados (personas que se mudan entre regiones, cuota de mercado, el tiempo, un curso con estados absorbentes) y su matriz de transición, con la convención por columnas o por filas. Multiplica el vector de estado paso a paso con sₙ₊₁ = T·sₙ, observa en la gráfica cómo converge al estado estacionario, resuelve Ts = s y examina las potencias Tⁿ. La pantalla Matriz de adyacencia cuenta los caminos de longitud n entre dos vértices con Aⁿ y construye la matriz de transición de un paseo aleatorio en el grafo.
Lección: Cadenas de Markov: matrices de transición, vectores de estado, estado estacionario y estados absorbentes; matrices de adyacencia y caminos de longitud n
Qué muestra
Una cadena de Markov pasa de un estado a otro por pasos, y el estado siguiente depende solo del actual. La matriz de transición reúne las probabilidades condicionadas de cada paso: por columnas, cada columna suma 1 y sₙ₊₁ = T·sₙ; por filas se usa P = Tᵀ, cada fila suma 1 y sₙ₊₁ = sₙ·P. El estado estacionario resuelve Ts = s con componentes que suman 1; una cadena regular se acerca a él desde cualquier inicio, y un estado absorbente retiene todo lo que entra. Una segunda pantalla cuenta caminos en un grafo con potencias de su matriz de adyacencia. Los escenarios son modelos simplificados con datos ilustrativos.
Cómo usarla
Elige un Escenario y una convención. Escribe probabilidades en la matriz o toca una probabilidad del diagrama y mueve el deslizador; el elemento de la diagonal se ajusta solo. Fija s₀ y pulsa Paso o Reproducir. Marca Mostrar potencias para ver Tⁿ. En Matriz de adyacencia, elige Desde, Hasta y Longitud n, toca dos vértices para añadir o quitar una arista y pulsa Ver caminos.
Parámetros que puedes cambiar
- Pantalla Cadena de Markov, Matriz de adyacencia y caminos
- Escenario El tiempo (2 estados), Cuota de mercado de tres marcas, Población de tres regiones, Curso (estados absorbentes)
- Convención de la matriz Por columnas (s es vector columna, sₙ₊₁ = T·sₙ), Por filas (s es vector fila, sₙ₊₁ = sₙ·P)
- Pasos en la gráfica 5–50 pasos
- Mostrar las potencias de la matriz de transición
- Grafo (pantalla Matriz de adyacencia) Cometa (4 vértices), Cuadrado – ciclo de 4 vértices, Casa (5 vértices), Grafo dirigido (4 vértices)
- Longitud del camino n 1–8 aristas
Preguntas para explorar
- ¿Depende la población a largo plazo de cada región de cuántas personas viven allí al principio?
- En el escenario del curso, ¿qué fracción de estudiantes aprueba al final y cómo podrías aumentarla?
- ¿Por qué un paseo aleatorio en el cuadrado nunca se estabiliza y en la cometa sí?
