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Volúmenes de revolución – discos, arandelas, capas cilíndricas y secciones

MatemáticasCálculoEdades 17–18

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Gira la región entre y = f(x) e y = g(x) alrededor del eje x, del eje y o de una recta y = k o x = k para construir un sólido de revolución en 3D. El sólido se corta en n discos, arandelas o capas cilíndricas cuyo volumen total se acerca a V = π∫(R² − r²)dx al crecer n, con una solución resuelta mediante primitivas. Un modo de secciones construye cortes cuadrados, semicirculares y triangulares sobre una región base.

Lección: Aplicaciones de la integral: volúmenes de sólidos de revolución y de sólidos con secciones conocidas

Qué muestra

Una región plana limitada por y = f(x), y = g(x), x = a y x = b gira alrededor de un eje y forma un sólido. Los cortes perpendiculares al eje son discos o arandelas de volumen π(R² − r²)Δx; los cortes paralelos a un eje vertical son capas cilíndricas de volumen 2πρhΔx. Al aumentar el número de cortes n, su suma se acerca a la integral definida, que la simulación calcula exactamente con primitivas y expresa como múltiplo de π cuando es posible. Un segundo modo apila secciones cuadradas, semicirculares o triangulares sobre la región base.

Cómo usarla

Elige f(x), g(x) y los límites a y b; luego escoge el Eje de giro y, para un eje vertical, el Método de corte. Pulsa Girar la región 360° para ver cómo la región barre el sólido y arrastra Corte mostrado para leer R, r y el volumen de un corte. Aumenta n o pulsa Iniciar para ver cómo Sₙ se acerca a V. Prueba los ejemplos Jarrón, Cuenco, Esfera, Cono y Arandela, o cambia a Secciones conocidas.

Parámetros que puedes cambiar

  • Modo Sólido de revolución, Secciones conocidas
  • Vista 3D, 2D (figura plana)
  • Curva y = f(x) y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (semicírculo), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (jarrón), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Curva y = g(x) y = 0 (eje x), y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (semicírculo), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (jarrón), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Límite inferior a 0–4
  • Límite superior b 0–4
  • Eje de giro Eje x (y = 0), Recta y = k, Eje y (x = 0), Recta x = k
  • Posición de la recta k (y = k o x = k) -2–5
  • Método de corte para un eje vertical Discos / arandelas (perpendiculares al eje), Capas cilíndricas (paralelas al eje)
  • Forma de la sección Cuadrado de lado s, Semicírculo de diámetro s, Triángulo equilátero de lado s, Triángulo rectángulo isósceles, cateto s
  • Número de cortes n 1–100

Preguntas para explorar

  1. ¿Qué cono se obtiene al girar la región bajo y = x/2 en [0, 4] alrededor del eje x, y coincide V con ⅓πr²h?
  2. ¿Por qué hay que restar π∫r²dx al girar la región entre y = x/2 e y = x²/4 alrededor del eje x?
  3. ¿Dan el mismo volumen del cuenco las capas cilíndricas y las arandelas horizontales?

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