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Volumes de revolução – discos, arruelas, cascas cilíndricas e seções

MatemáticaCálculoIdades 17–18

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Gire a região entre y = f(x) e y = g(x) em torno do eixo x, do eixo y ou de uma reta y = k ou x = k para construir um sólido de revolução em 3D. O sólido é cortado em n discos, arruelas ou cascas cilíndricas cujo volume total se aproxima de V = π∫(R² − r²)dx quando n cresce, com uma solução resolvida por primitivas. Um modo de seções monta fatias quadradas, semicirculares e triangulares sobre uma região de base.

Aula: Aplicações da integral: volumes de sólidos de revolução e de sólidos com seções conhecidas

O que mostra

Uma região plana limitada por y = f(x), y = g(x), x = a e x = b gira em torno de um eixo e forma um sólido. As fatias perpendiculares ao eixo são discos ou arruelas de volume π(R² − r²)Δx; as fatias paralelas a um eixo vertical são cascas cilíndricas de volume 2πρhΔx. À medida que o número de fatias n cresce, a soma se aproxima da integral definida, que a simulação calcula exatamente por primitivas e escreve como múltiplo de π quando possível. Um segundo modo empilha seções quadradas, semicirculares ou triangulares sobre a região de base.

Como usar

Escolha f(x), g(x) e os limites a e b; depois escolha o Eixo de rotação e, para um eixo vertical, o Método de fatiamento. Pressione Girar a região 360° para ver a região varrer o sólido e arraste Fatia mostrada para ler R, r e o volume de uma fatia. Aumente n ou pressione Iniciar para ver Sₙ se aproximar de V. Experimente os exemplos Vaso, Tigela, Esfera, Cone e Arruela, ou mude para Seções conhecidas.

Parâmetros que você pode mudar

  • Modo Sólido de revolução, Seções conhecidas
  • Visualização 3D, 2D (figura plana)
  • Curva y = f(x) y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (semicírculo), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (vaso), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Curva y = g(x) y = 0 (eixo x), y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (semicírculo), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (vaso), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Limite inferior a 0–4
  • Limite superior b 0–4
  • Eixo de rotação Eixo x (y = 0), Reta y = k, Eixo y (x = 0), Reta x = k
  • Posição da reta k (y = k ou x = k) -2–5
  • Método de fatiamento para um eixo vertical Discos / arruelas (perpendiculares ao eixo), Cascas (paralelas ao eixo)
  • Forma da seção Quadrado de lado s, Semicírculo de diâmetro s, Triângulo equilátero de lado s, Triângulo retângulo isósceles, cateto s
  • Número de fatias n 1–100

Perguntas para explorar

  1. Que cone se obtém girando a região sob y = x/2 em [0, 4] em torno do eixo x, e V confere com ⅓πr²h?
  2. Por que é preciso subtrair π∫r²dx ao girar a região entre y = x/2 e y = x²/4 em torno do eixo x?
  3. Para a tigela, as cascas cilíndricas e as arruelas horizontais dão o mesmo volume?

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