Simulic
Français

Volumes de révolution – disques, anneaux, coques cylindriques et sections

MathématiquesAnalyse17–18 ans

Chargement…

Utiliser avec ma classe ✨ Personnaliser avec l'IA Signaler un problème

Faites tourner la région entre y = f(x) et y = g(x) autour de l'axe des abscisses, de l'axe des ordonnées ou d'une droite y = k ou x = k pour construire un solide de révolution en 3D. Le solide est découpé en n disques, anneaux ou coques cylindriques dont le volume total tend vers V = π∫(R² − r²)dx quand n augmente, avec une solution détaillée par primitives. Un mode sections construit des tranches carrées, semi-circulaires et triangulaires sur une région de base.

Leçon : Applications de l'intégrale : volumes des solides de révolution et des solides à sections connues

Ce qu’elle montre

Une région plane limitée par y = f(x), y = g(x), x = a et x = b tourne autour d'un axe et engendre un solide. Les tranches perpendiculaires à l'axe sont des disques ou des anneaux de volume π(R² − r²)Δx ; les tranches parallèles à un axe vertical sont des coques cylindriques de volume 2πρhΔx. Quand le nombre de tranches n augmente, leur somme tend vers l'intégrale définie, que la simulation calcule exactement par primitives et écrit comme un multiple de π lorsque c'est possible. Un second mode empile des sections carrées, semi-circulaires ou triangulaires sur la région de base.

Mode d’emploi

Choisissez f(x), g(x) et les bornes a et b, puis l'Axe de rotation et, pour un axe vertical, la Méthode de découpage. Appuyez sur Tourner la région de 360° pour voir la région balayer le solide, puis faites glisser Tranche affichée pour lire R, r et le volume d'une tranche. Augmentez n ou appuyez sur Lancer pour voir Sₙ tendre vers V. Essayez les exemples Vase, Bol, Sphère, Cône et Anneau, ou passez aux Sections connues.

Paramètres modifiables

  • Mode Solide de révolution, Sections connues
  • Vue 3D, 2D (figure plane)
  • Courbe y = f(x) y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (demi-cercle), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (vase), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Courbe y = g(x) y = 0 (axe des x), y = √x, y = x/2, y = x²/4, y = 1, y = 2, y = √(4 − (x − 2)²) (demi-cercle), y = 1,3 + 0,7·sin(0,4πx) (vase), y = sin x, y = e^(x/4)
  • Borne inférieure a 0–4
  • Borne supérieure b 0–4
  • Axe de rotation Axe des x (y = 0), Droite y = k, Axe des y (x = 0), Droite x = k
  • Position de la droite k (y = k ou x = k) -2–5
  • Méthode de découpage pour un axe vertical Disques / anneaux (perpendiculaires à l'axe), Coques (parallèles à l'axe)
  • Forme de la section Carré de côté s, Demi-disque de diamètre s, Triangle équilatéral de côté s, Triangle rectangle isocèle, côté s
  • Nombre de tranches n 1–100

Questions à explorer

  1. Quel cône obtient-on en faisant tourner la région sous y = x/2 sur [0, 4] autour de l'axe des x, et V vaut-il ⅓πr²h ?
  2. Pourquoi faut-il soustraire π∫r²dx quand la région entre y = x/2 et y = x²/4 tourne autour de l'axe des x ?
  3. Pour le bol, les coques cylindriques et les anneaux horizontaux donnent-ils le même volume ?

Simulations associées