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Stichprobenverteilung einer relativen Häufigkeit – wiederholte Stichproben und Normalapproximation

MathematikStatistikAlter 17–18

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Legen Sie den Anteil p in der Grundgesamtheit und den Stichprobenumfang n fest, ziehen Sie Tausende Zufallsstichproben und erstellen Sie das Histogramm der relativen Häufigkeit p̂: Es ist um p zentriert, hat die Standardabweichung √(p(1 − p)/n) und sieht normalverteilt aus, wenn np ≥ 10 und n(1 − p) ≥ 10. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass p̂ eine Grenze überschreitet, durch Simulation, mit der exakten Verteilung und mit der Normalapproximation; eine endliche Grundgesamtheit (die 10-%-Bedingung) und die Differenz zweier Anteile p̂₁ − p̂₂ sind enthalten.

Lektion: Stichprobenverteilung einer relativen Häufigkeit

Was sie zeigt

Eine relative Häufigkeit p̂ = X/n ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe, und die Verteilung aller möglichen Werte ist ihre Stichprobenverteilung. Bei unabhängigen Ziehungen ist die Anzahl X binomialverteilt B(n, p), also hat p̂ den Erwartungswert p (ein erwartungstreuer Schätzer) und die Standardabweichung √(p(1 − p)/n). Sind np und n(1 − p) beide mindestens 10, ist die Verteilung annähernd normal; darauf beruhen Konfidenzintervalle und Tests für einen Anteil. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit macht X hypergeometrisch und verringert die Streuung; die Formel bleibt brauchbar, solange n höchstens 10 % von N ist.

So funktioniert es

Stellen Sie Anteil p und Stichprobenumfang n ein und drücken Sie 1 Stichprobe, +100 Stichproben, +1000 Stichproben oder Start, um das Histogramm wachsen zu sehen. Vergleichen Sie es mit Exakte Verteilung und Normalkurve. Geben Sie eine Grenze c ein oder ziehen Sie die rote Linie, um die Wahrscheinlichkeit auf drei Arten zu erhalten. Wählen Sie Grundgesamtheit N, ziehen Sie im unteren Diagramm, um n zu ändern, entfernen Sie den Haken bei p anzeigen, um p zu schätzen, oder stellen Sie den Modus auf eine Differenz.

Einstellbare Parameter

  • Modus Ein Stichprobenanteil p̂, Differenz zweier Stichprobenanteile p̂₁ − p̂₂
  • Anteil p in der Grundgesamtheit (oder p₁) 0,01–0,99
  • Stichprobenumfang n (oder n₁) 1–2000
  • Anteil p₂ in der Grundgesamtheit 0,01–0,99
  • Stichprobenumfang n₂ 1–2000
  • Umfang der Grundgesamtheit N Sehr groß (unabhängige Ziehungen), 100, 200, 500, 1000, 10000
  • Ereignis für die Wahrscheinlichkeit p̂ ≥ c, p̂ ≤ c
  • Grenze c für p̂ 0–1
  • Grenze c für p̂₁ − p̂₂ -1–1
  • Anteil der Grundgesamtheit anzeigen
  • Exakte Verteilung anzeigen
  • Normalkurve anzeigen
  • Zufallsstartwert (gleiche Zahl, gleiche Stichproben) 1–999

Fragen zum Erkunden

  1. Wie ändert sich die Standardabweichung von p̂, wenn der Stichprobenumfang von 25 auf 100 steigt?
  2. Warum ist das Histogramm von p̂ bei p = 0,05 und n = 50 schief und die Normalapproximation schlecht?
  3. Warum streut p̂ weniger als √(p(1 − p)/n), wenn Sie 400 aus einer Grundgesamtheit von 1000 ziehen?

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