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Distribution d'échantillonnage d'une fréquence – échantillons répétés et approximation normale

MathématiquesStatistiques17–18 ans

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Fixez la proportion p dans la population et la taille d'échantillon n, tirez des milliers d'échantillons aléatoires et construisez l'histogramme de la fréquence observée p̂ : il est centré sur p, a pour écart type √(p(1 − p)/n) et paraît normal quand np ≥ 10 et n(1 − p) ≥ 10. Calculez la probabilité que p̂ dépasse un seuil par simulation, avec la loi exacte et avec l'approximation normale ; une population finie (la condition des 10 %) et la différence de deux fréquences p̂₁ − p̂₂ sont incluses.

Leçon : Distribution d'échantillonnage d'une fréquence

Ce qu’elle montre

Une fréquence d'échantillon p̂ = X/n varie d'un échantillon à l'autre, et la distribution de toutes ses valeurs possibles est sa distribution d'échantillonnage. Avec des tirages indépendants, le nombre X suit la loi binomiale B(n, p), donc p̂ a pour moyenne p (c'est un estimateur sans biais) et pour écart type √(p(1 − p)/n). Quand np et n(1 − p) valent tous deux au moins 10, la distribution est presque normale, ce qui fonde les intervalles de confiance et les tests sur une proportion. Tirer sans remise dans une petite population rend X hypergéométrique et réduit la dispersion ; la formule reste valable tant que n ne dépasse pas 10 % de N.

Mode d’emploi

Réglez Proportion p et Taille d'échantillon n, puis appuyez sur Tirer 1 échantillon, +100 échantillons, +1000 échantillons ou Lancer pour voir l'histogramme se construire. Comparez-le avec Loi exacte et Courbe normale. Tapez un seuil c ou faites glisser la ligne rouge pour obtenir la probabilité de trois façons. Choisissez Population N, faites glisser sur le graphique du bas pour changer n, décochez Afficher p pour estimer p ou passez le Mode à une différence.

Paramètres modifiables

  • Mode Une fréquence p̂, Différence de deux fréquences p̂₁ − p̂₂
  • Proportion p dans la population (ou p₁) 0,01–0,99
  • Taille d'échantillon n (ou n₁) 1–2000
  • Proportion p₂ dans la population 0,01–0,99
  • Taille d'échantillon n₂ 1–2000
  • Taille de la population N Très grande (tirages indépendants), 100, 200, 500, 1000, 10000
  • Événement dont on calcule la probabilité p̂ ≥ c, p̂ ≤ c
  • Seuil c pour p̂ 0–1
  • Seuil c pour p̂₁ − p̂₂ -1–1
  • Afficher la proportion dans la population
  • Afficher la loi exacte
  • Afficher la courbe normale
  • Graine aléatoire (même nombre, mêmes échantillons) 1–999

Questions à explorer

  1. Comment l'écart type de p̂ change-t-il quand la taille d'échantillon passe de 25 à 100 ?
  2. Avec p = 0,05 et n = 50, pourquoi l'histogramme de p̂ est-il asymétrique et l'approximation normale médiocre ?
  3. Pourquoi p̂ est-il moins dispersé que ne le prévoit √(p(1 − p)/n) quand on tire 400 individus parmi 1000 ?

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