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Transformaciones de gráficas – traslaciones, dilataciones y reflexiones de y = a·f(b(x − h)) + k

MatemáticasFunciones y gráficasEdades 15–16

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Elige una función base (x, x², x³, |x|, √x, 1/x, 1/x², 2ˣ, eˣ, ln x, sin x) y arrastra a, b, h y k en g(x) = a·f(b(x − h)) + k para ver dilataciones, reflexiones y traslaciones. Unas flechas unen los puntos clave con sus imágenes, y Ver pasos repite las transformaciones en el orden correcto. La pantalla Gráficas relacionadas dibuja |g(x)|, g(|x|), 1/g(x) y [g(x)]², y la pantalla Simetría comprueba si la función es par, impar o autoinversa.

Lección: Transformaciones de gráficas; funciones pares e impares

Qué muestra

Una función base f se transforma en g(x) = a·f(b(x − h)) + k. Cada punto (x; y) de f va a (x/b + h; a·y + k): una dilatación horizontal de factor 1/b (con reflexión en el eje y si b < 0), una traslación horizontal h, una dilatación vertical de factor a (con reflexión en el eje x si a < 0) y una traslación vertical k. El dominio, el recorrido, las asíntotas, la amplitud y el periodo se calculan a partir de a, b, h y k. Las propiedades par, impar y autoinversa se comprueban numéricamente para x entre −6 y 6, sin demostración algebraica.

Cómo usarla

En Transformar, elige una Función base y arrastra los deslizadores a, b, h y k, o arrastra sobre la gráfica para trasladarla. Marca Puntos clave para ver adónde va cada punto y pulsa Ver pasos para repetir las transformaciones en orden. En Gráficas relacionadas, elige una Gráfica como y = 1/g(x) y arrastra x₀. En Simetría, elige una Prueba y compara la imagen discontinua con g. Restablecer recupera los valores iniciales.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Transformar, Gráficas relacionadas, Simetría
  • Función base f f(x) = x, f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = |x|, f(x) = √x, f(x) = 1/x, f(x) = 1/x², f(x) = 2ˣ, f(x) = eˣ, f(x) = ln x, f(x) = sin x
  • Coeficiente a (dilatación vertical; si a < 0, reflexión en el eje x) -4–4
  • Coeficiente b (dilatación horizontal de factor 1/b; si b < 0, reflexión en el eje y; b ≠ 0) -3–3
  • Traslación horizontal h -5–5
  • Traslación vertical k -5–5
  • Mostrar puntos clave y flechas hacia sus imágenes
  • Gráfica relacionada (pantalla Gráficas relacionadas) y = |g(x)|, y = g(|x|), y = 1/g(x), y = [g(x)]²
  • Propiedad comprobada (pantalla Simetría) Par: g(−x) = g(x), Impar: g(−x) = −g(x), Autoinversa: g(g(x)) = x
  • Abscisa x₀ del punto elegido (pantallas Gráficas relacionadas y Simetría) -5–5

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué la gráfica de y = (2x − 4)² es una traslación de y = (2x)² de 2 unidades y no de 4?
  2. ¿Es autoinversa y = 1/(x − 2) + 2, y respecto a qué recta es simétrica su gráfica?
  3. Al dibujar y = 1/g(x), ¿qué ocurre con los ceros de g y con los puntos donde g(x) = ±1?

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