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Exponentialfunktion y = aˣ und Logarithmusfunktion y = logₐx

MathematikFunktionen und GraphenAlter 16–17

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Die Graphen von y = aˣ und y = logₐx liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x. Ziehen Sie den Punkt M auf dem Graphen der Exponentialfunktion, dann bewegt sich sein Spiegelpunkt M' auf dem Graphen der Logarithmusfunktion; mit dem Regler a sehen Sie, dass die Funktion für a > 1 steigt und für 0 < a < 1 fällt. Der Bildschirm Logarithmengesetze zeigt einen Logarithmus als Exponent auf einer Skala der Potenzen von b, Produkt- und Quotientenregel am Rechenschieber, die Potenzregel, den Basiswechsel und b^(x+k) = b^k·b^x als Transformationen von Graphen; der Bildschirm Gleichungen löst A·b^(ct) = d grafisch und mit Logarithmen, einschließlich Verdopplungszeit und Halbwertszeit. Der Bildschirm Basis e zeigt, warum e besonders ist: Nur für a = e ist die Steigung von aˣ gleich ihrem Wert; die Ableitung von e^(kx) ist k·e^(kx); ln x ist die Fläche unter y = 1/t und das Spiegelbild von eˣ an y = x; und (1 + 1/n)ⁿ → e führt zur stetigen Verzinsung.

Lektion: Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

Was sie zeigt

Die Exponentialfunktion y = aˣ und der Logarithmus y = logₐx sind Umkehrfunktionen, ihre Graphen liegen spiegelbildlich zu y = x. Ein Logarithmus ist ein Exponent; die Gesetze log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y und log(xᵏ) = k·log x folgen aus den Potenzgesetzen, und Logarithmieren löst A·b^(ct) = d. Die eulersche Zahl e ≈ 2,718 ist die einzige Basis, für die die Steigung von aˣ gleich ihrem Wert ist: Die Ableitung von e^(kx) ist k·e^(kx). ln x ist die Fläche unter y = 1/t von 1 bis x, und (1 + 1/n)ⁿ strebt gegen e.

So funktioniert es

Ziehen Sie unter Graphen den Regler Basis a über 1 hinweg und den Punkt M entlang y = aˣ. Wählen Sie unter Logarithmengesetze ein Gesetz und eine Basis und ziehen Sie auf dem Bild. Stellen Sie unter Gleichungen A, b, c und d ein oder wählen Sie eine Aufgabe. Wählen Sie unter Basis e eine Ansicht, ändern Sie a oder klicken Sie auf a = e, ändern Sie k oder stellen Sie n und r ein und ziehen Sie auf dem Graphen.

Einstellbare Parameter

  • Basis a (a > 0, a ≠ 1) 0,1–5
  • Start-x-Koordinate von M -3–3
  • Gezeigte Anwendung Nur Graph, Bevölkerungswachstum (×a pro Periode), Radioaktiver Zerfall (Anteil a bleibt pro Periode, a < 1)
  • Graph von y = logₐx zeigen
  • Gerade y = x und Spiegelpunkte zeigen
  • Bildschirm Graphen, Logarithmengesetze, Gleichungen, Basis e
  • Logarithmengesetz Logarithmus als Exponent, Produktregel: log(xy), Quotientenregel: log(x/y), Potenzregel: log(xᵏ), log(kx): Verschiebung, Basiswechsel, bˣ⁺ᵏ = bᵏ·bˣ
  • Basis b (Gesetze) 2, 3, 10, e
  • Wert x (Gesetze) 0,1–100
  • Wert y (Rechenschieber) 0,1–10
  • Parameter k -3–10
  • Neue Basis c 2, 3, 10, e
  • Anfangswert A 1–1000
  • Basis b (Gleichung) 0,5–3
  • Konstante c 0,1–12
  • Zielwert d 1–5000
  • Aufgabe d wählen, Verdopplungszeit (d = 2A), Halbwertszeit (d = A/2)
  • Logarithmische y-Achse
  • Basis e: Ansicht Steigung von aˣ, Steigung von e^(kx), ln x als Fläche, (1 + 1/n)ⁿ → e
  • Basis a (Bildschirm Basis e) 1,2–4
  • Konstante k in y = e^(kx) -2–2
  • x-Koordinate des Berührpunkts -3–2
  • Obere Grenze x der Fläche unter y = 1/t 0,1–8
  • Anzahl der Zinsperioden n 1–1000000
  • Jahreszins r 1–100 %

Fragen zum Erkunden

  1. Warum ist logₐx nur für x > 0 definiert, wenn man die Spiegelung von y = aˣ an y = x betrachtet?
  2. Wenn M(2; 4) auf y = 2ˣ liegt, welcher Punkt muss dann auf y = log₂x liegen?
  3. Eine Bevölkerung wächst pro Periode um den Faktor 1,1. Nach wie vielen Perioden hat sie sich verdoppelt?

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