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Transformations de courbes – translations, dilatations et symétries de y = a·f(b(x − h)) + k

MathématiquesFonctions et courbes15–16 ans

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Choisissez une fonction de référence (x, x², x³, |x|, √x, 1/x, 1/x², 2ˣ, eˣ, ln x, sin x) et faites glisser a, b, h et k dans g(x) = a·f(b(x − h)) + k pour voir les dilatations, les symétries et les translations. Des flèches relient les points remarquables à leurs images, et Voir les étapes rejoue les transformations dans le bon ordre. L'écran Courbes associées trace |g(x)|, g(|x|), 1/g(x) et [g(x)]², et l'écran Symétrie teste si la fonction est paire, impaire ou involutive.

Leçon : Transformations de courbes ; fonctions paires et impaires

Ce qu’elle montre

Une fonction de référence f est transformée en g(x) = a·f(b(x − h)) + k. Chaque point (x ; y) de f a pour image (x/b + h ; a·y + k) : une dilatation horizontale de rapport 1/b (et une symétrie d'axe des ordonnées si b < 0), une translation horizontale h, une dilatation verticale de rapport a (et une symétrie d'axe des abscisses si a < 0) et une translation verticale k. Ensemble de définition, ensemble image, asymptotes, amplitude et période se déduisent de a, b, h et k. Parité et involution sont testées numériquement pour x entre −6 et 6, sans démonstration algébrique.

Mode d’emploi

Dans Transformer, choisissez une Fonction de référence et faites glisser les curseurs a, b, h et k, ou faites glisser la courbe pour la translater. Cochez Points remarquables pour suivre chaque point, puis cliquez sur Voir les étapes pour rejouer les transformations dans l'ordre. Dans Courbes associées, choisissez une Courbe comme y = 1/g(x) et déplacez x₀. Dans Symétrie, choisissez un Test et comparez l'image en pointillés avec g. Réinitialiser rétablit les valeurs de départ.

Paramètres modifiables

  • Écran Transformer, Courbes associées, Symétrie
  • Fonction de référence f f(x) = x, f(x) = x², f(x) = x³, f(x) = |x|, f(x) = √x, f(x) = 1/x, f(x) = 1/x², f(x) = 2ˣ, f(x) = eˣ, f(x) = ln x, f(x) = sin x
  • Coefficient a (dilatation verticale ; a < 0 : symétrie par rapport à l'axe des abscisses) -4–4
  • Coefficient b (dilatation horizontale de rapport 1/b ; b < 0 : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; b ≠ 0) -3–3
  • Translation horizontale h -5–5
  • Translation verticale k -5–5
  • Afficher les points remarquables et les flèches vers leurs images
  • Courbe associée (écran Courbes associées) y = |g(x)|, y = g(|x|), y = 1/g(x), y = [g(x)]²
  • Propriété testée (écran Symétrie) Paire : g(−x) = g(x), Impaire : g(−x) = −g(x), Involutive : g(g(x)) = x
  • Abscisse x₀ du point choisi (écrans Courbes associées et Symétrie) -5–5

Questions à explorer

  1. Pourquoi la courbe de y = (2x − 4)² est-elle translatée de 2 unités par rapport à y = (2x)², et non de 4 ?
  2. La fonction y = 1/(x − 2) + 2 est-elle involutive, et par rapport à quelle droite sa courbe est-elle symétrique ?
  3. Quand vous tracez y = 1/g(x), que deviennent les zéros de g et les points où g(x) = ±1 ?

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