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Fonctions composées et réciproques – diagrammes sagittaux, courbes et symétrie par rapport à y = x

MathématiquesFonctions et courbes15–16 ans

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Choisissez deux fonctions f et g (affine, du second degré, exponentielle, racine carrée, inverse) avec des paramètres a et b. L'écran Composée trace le diagramme x → g(x) → f(g(x)) et la courbe de f∘g, la compare à g∘f et donne l'ensemble de définition et l'ensemble image exacts. L'écran Somme et produit additionne ou multiplie les ordonnées, et l'écran Réciproque prend le symétrique de la courbe par rapport à y = x, fait le test de la droite horizontale, restreint l'ensemble de définition et compare les pentes des tangentes en des points symétriques.

Leçon : Fonctions composées, fonctions réciproques et opérations sur les fonctions

Ce qu’elle montre

Les fonctions f et g sont construites à partir de cinq familles : affine a·x + b, second degré a·x² + b, exponentielle a·eˣ + b, racine carrée a·√x + b et inverse a/x + b. La composée (f∘g)(x) = f(g(x)) apparaît sous forme de diagramme sagittal enchaîné et de courbe, avec une construction passant par la droite y = x. Son ensemble de définition contient les x de l'ensemble de définition de g tels que g(x) soit dans celui de f ; ensembles de définition et ensembles images sont calculés exactement, bornes arrondies à 2 décimales. La réciproque est le symétrique de la courbe par rapport à y = x et n'existe que pour une fonction injective.

Mode d’emploi

Commencez par Composée : réglez f et g avec les curseurs a et b, puis faites glisser x₀ sur la courbe et suivez les flèches du diagramme. Changez Ordre pour comparer f∘g et g∘f. Dans Somme et produit, choisissez une Opération et observez les barres des ordonnées. Dans Réciproque, prenez une fonction du second degré, cochez Test de la droite horizontale, mettez Définition de f sur x ≥ 0 et déplacez Point A pour comparer les pentes. Réinitialiser rétablit les valeurs de départ.

Paramètres modifiables

  • Écran Composée, Somme et produit, Réciproque
  • Type de f Affine a·x + b, Second degré a·x² + b, Exponentielle a·eˣ + b, Racine carrée a·√x + b, Inverse a/x + b
  • Coefficient a de f -5–5
  • Coefficient b de f -5–5
  • Type de g Affine a·x + b, Second degré a·x² + b, Exponentielle a·eˣ + b, Racine carrée a·√x + b, Inverse a/x + b
  • Coefficient a de g -5–5
  • Coefficient b de g -5–5
  • Valeur x₀ (point A dans l'écran Réciproque) -5–5
  • Ordre de composition f∘g : f(g(x)), g∘f : g(f(x))
  • Opération (écran Somme et produit) f + g, f − g, f · g, f ÷ g
  • Restreindre l'ensemble de définition de f (écran Réciproque) Ensemble entier, x ≥ 0, x ≤ 0
  • Test de la droite horizontale
  • Droite horizontale y = k -6–6

Questions à explorer

  1. Pour f(x) = √x et g(x) = x − 2, en quoi les ensembles de définition de f∘g et de g∘f diffèrent-ils ?
  2. Pourquoi y = x² n'a-t-elle pas de réciproque sur ℝ, et en quoi restreindre l'ensemble de définition aide-t-il ?
  3. Si la tangente à f en A a pour pente 2, quelle est la pente de la tangente à f⁻¹ au point symétrique ?

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