Funções compostas e inversas – diagramas de flechas, gráficos e simetria em relação a y = x

O que mostra

As funções f e g são construídas a partir de cinco famílias: afim a·x + b, quadrática a·x² + b, exponencial a·eˣ + b, raiz quadrada a·√x + b e recíproca a/x + b. A composta (f∘g)(x) = f(g(x)) aparece como um diagrama de flechas encadeado e como um gráfico com uma construção pela reta y = x. Seu domínio é o conjunto dos x do domínio de g com g(x) no domínio de f; domínios e imagens são calculados de forma exata, com extremos arredondados a 2 casas decimais. A inversa é a simetria do gráfico em relação a y = x e só existe para funções injetoras.

Como usar

Comece em Composta: ajuste f e g com os controles a e b, arraste x₀ no gráfico e siga as flechas do diagrama. Mude Ordem para comparar f∘g com g∘f. Em Soma e produto, escolha uma Operação e observe as barras das ordenadas. Em Inversa, escolha uma quadrática, marque Teste da reta horizontal, coloque Domínio de f em x ≥ 0 e arraste Ponto A para comparar inclinações. Redefinir volta aos valores iniciais.

Parâmetros que você pode mudar

• Tela Composta, Soma e produto, Inversa
• Tipo de f Afim a·x + b, Quadrática a·x² + b, Exponencial a·eˣ + b, Raiz quadrada a·√x + b, Recíproca a/x + b
• Coeficiente a de f -5–5
• Coeficiente b de f -5–5
• Tipo de g Afim a·x + b, Quadrática a·x² + b, Exponencial a·eˣ + b, Raiz quadrada a·√x + b, Recíproca a/x + b
• Coeficiente a de g -5–5
• Coeficiente b de g -5–5
• Valor x₀ (ponto A na tela Inversa) -5–5
• Ordem da composição f∘g: f(g(x)), g∘f: g(f(x))
• Operação (tela Soma e produto) f + g, f − g, f · g, f ÷ g
• Restringir o domínio de f (tela Inversa) Domínio inteiro, x ≥ 0, x ≤ 0
• Teste da reta horizontal
• Reta horizontal y = k -6–6

Perguntas para explorar

1. Para f(x) = √x e g(x) = x − 2, como diferem os domínios de f∘g e g∘f?
2. Por que y = x² não tem inversa em todos os reais, e como restringir o domínio ajuda?
3. Se a tangente a f em A tem inclinação 2, qual é a inclinação da tangente a f⁻¹ no ponto simétrico?