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Funciones compuestas e inversas – diagramas de flechas, gráficas y simetría respecto a y = x

MatemáticasFunciones y gráficasEdades 15–16

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Elige dos funciones f y g (lineal, cuadrática, exponencial, raíz cuadrada, recíproca) con parámetros a y b. La pantalla Compuesta dibuja el diagrama x → g(x) → f(g(x)) y la gráfica de f∘g, la compara con g∘f y da el dominio y el recorrido exactos. La pantalla Suma y producto suma o multiplica ordenadas, y la pantalla Inversa refleja la gráfica respecto a y = x, aplica la prueba de la recta horizontal, restringe el dominio y compara las pendientes de las tangentes en puntos simétricos.

Lección: Funciones compuestas, funciones inversas y operaciones con funciones

Qué muestra

Las funciones f y g se construyen a partir de cinco familias: lineal a·x + b, cuadrática a·x² + b, exponencial a·eˣ + b, raíz cuadrada a·√x + b y recíproca a/x + b. La compuesta (f∘g)(x) = f(g(x)) se muestra como un diagrama de flechas encadenado y como una gráfica con una construcción a través de la recta y = x. Su dominio es el conjunto de los x del dominio de g con g(x) en el dominio de f; dominios y recorridos se calculan de forma exacta, con extremos redondeados a 2 decimales. La inversa es la simetría de la gráfica respecto a y = x y solo existe para funciones inyectivas.

Cómo usarla

Empieza en Compuesta: ajusta f y g con los deslizadores a y b, arrastra x₀ sobre la gráfica y sigue las flechas del diagrama. Cambia Orden para comparar f∘g con g∘f. En Suma y producto, elige una Operación y observa las barras de las ordenadas. En Inversa, elige una cuadrática, marca Prueba de la recta horizontal, pon Dominio de f en x ≥ 0 y arrastra Punto A para comparar pendientes. Restablecer recupera los valores iniciales.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Compuesta, Suma y producto, Inversa
  • Tipo de f Lineal a·x + b, Cuadrática a·x² + b, Exponencial a·eˣ + b, Raíz cuadrada a·√x + b, Recíproca a/x + b
  • Coeficiente a de f -5–5
  • Coeficiente b de f -5–5
  • Tipo de g Lineal a·x + b, Cuadrática a·x² + b, Exponencial a·eˣ + b, Raíz cuadrada a·√x + b, Recíproca a/x + b
  • Coeficiente a de g -5–5
  • Coeficiente b de g -5–5
  • Valor x₀ (punto A en la pantalla Inversa) -5–5
  • Orden de composición f∘g: f(g(x)), g∘f: g(f(x))
  • Operación (pantalla Suma y producto) f + g, f − g, f · g, f ÷ g
  • Restringir el dominio de f (pantalla Inversa) Todo el dominio, x ≥ 0, x ≤ 0
  • Prueba de la recta horizontal
  • Recta horizontal y = k -6–6

Preguntas para explorar

  1. ¿En qué se diferencian los dominios de f∘g y g∘f si f(x) = √x y g(x) = x − 2?
  2. ¿Por qué y = x² no tiene inversa en todos los reales y cómo ayuda restringir el dominio?
  3. ¿Si la tangente a f en A tiene pendiente 2, qué pendiente tiene la tangente a f⁻¹ en el punto simétrico?

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